Ensemble de production et ses fonctions. Concept de système de production et de processus de production
2. Ensembles de production et fonctions de production
2.1. Ensembles de production et leurs propriétés
Considérez le participant le plus important processus économiques– un fabricant distinct. Le fabricant ne réalise ses objectifs qu'à travers le consommateur et doit donc deviner, comprendre ce qu'il veut et satisfaire ses besoins. Nous supposerons qu'il existe n biens différents, la quantité du nième produit est notée x n, puis un certain ensemble de biens est noté X = (x 1, ..., x n). Nous considérerons uniquement des quantités de biens non négatives, de sorte que x i 0 pour tout i = 1, ..., n ou X > 0. L'ensemble de tous les ensembles de biens est appelé l'espace des biens C. Un ensemble de les marchandises peuvent être traitées comme un panier dans lequel ces marchandises se trouvent en quantités appropriées.
Laissez l'économie fonctionner dans l'espace des biens C = (X = (x 1, x 2, …, x n) : x 1, …, x n 0). L'espace produit est constitué de vecteurs non négatifs à n dimensions. Considérons maintenant un vecteur T de dimension n dont les m premières composantes sont non positives : x 1, …, x m 0, et les (n-m) dernières composantes sont non négatives : x m +1, …, x n 0. Vecteur X = (x 1,…, x m ) appelons vecteur de coût, et vecteur Y = (x m+1 , …, x n) – vecteur de libération. Appelons le vecteur T = (X,Y) vecteur d'entrée-sortie, ou technologie.
Dans son sens, la technologie (X,Y) est un moyen de transformer des ressources en produits finis : en « mélangeant » des ressources en quantité de X, nous obtenons des produits en quantité de Y. Chaque fabricant spécifique est caractérisé par un certain ensemble τ de technologies, appelées ensemble de production. Un ensemble ombré typique est présenté sur la Fig. 2.1. Ce fabricant utilise un produit pour en fabriquer un autre.
Riz. 2.1. Ensemble de production
L'ensemble de production reflète l'étendue des capacités du fabricant : plus il est grand, plus ses capacités sont larges. L’ensemble de production doit satisfaire aux conditions suivantes :
il est fermé - cela signifie que si le vecteur d'entrée-sortie T est approximé aussi précisément que souhaité par les vecteurs de τ, alors T appartient également à τ (si tous les points du vecteur T se trouvent dans τ, alors Tτ voir Fig. 2.1 points C et B) ;
dans τ(-τ) = (0), c'est-à-dire si Tτ, T ≠ 0, alors -Tτ – les coûts et la production ne peuvent pas être échangés, c'est-à-dire que la production est un processus irréversible (ensemble – τ est dans le quatrième quadrant , où y est 0);
l'ensemble est convexe, cette hypothèse conduit à une diminution du rendement des ressources transformées avec une augmentation des volumes de production (à une augmentation du taux de dépenses en produits finis). Ainsi, d'après la Fig. 2.1, il est clair que y/x diminue à mesure que x -. En particulier, l’hypothèse de convexité conduit à une diminution de la productivité du travail à mesure que la production augmente.
Souvent, la convexité n'est tout simplement pas suffisante, et une stricte convexité de l'ensemble de production (ou d'une partie de celui-ci) est alors requise.
2.2. Courbe des possibilités de production
et coûts d'opportunité
Le concept de production considéré se caractérise par un haut degré d’abstraction et, en raison de son extrême généralité, est peu utile à la théorie économique.
Considérons, par exemple, la Fig. 2.1. Commençons par les points B et C. Les coûts de ces technologies sont les mêmes, mais le résultat est différent. Le constructeur, s'il n'est pas dénué de bon sens, ne choisira jamais la technologie B, puisqu'il existe une meilleure technologie C. Dans ce cas (voir Fig. 2.1), on trouve pour chaque x 0 le point le plus élevé (x, y ) dans l'ensemble de production. Évidemment, au coût x, la technologie (x, y) est la meilleure. Aucune technologie (x, b) avec fonction de production b. La définition exacte de la fonction de production :
Y = f(x)(x, y) τ, et si (x, b) τ et b y, alors b = x .
De la fig. 2.1 il est clair que pour tout x 0 un tel point y = f(x) est unique, ce qui permet en fait de parler d'une fonction de production. Mais la situation est si simple si un seul produit est fabriqué. Dans le cas général, pour le vecteur de coût X on note l'ensemble M x = (Y:(X,Y)τ). Définir M x – est l'ensemble de toutes les sorties possibles étant donné les coûts X. Dans cet ensemble, considérons la « courbe » des possibilités de production K x = (YM x : si ZM x et Z Y, alors Z = X), soit K x – ce sont quelques-unes des meilleures versions, il n'y en a pas de meilleure. Si deux biens sont produits, alors c'est une courbe, mais si plus de deux biens sont produits, alors c'est une surface, un corps ou un ensemble de dimension encore plus grande.
Ainsi, pour tout vecteur de coût X, tous les meilleurs résultats se situent sur la courbe des possibilités de production (surface). C’est pourquoi, pour des raisons économiques, le fabricant doit choisir la technologie à partir de là. Pour le cas de la libération de deux marchandises y 1, y 2, l'image est présentée sur la Fig. 2.2.
Si nous opérons uniquement avec des indicateurs physiques (tonnes, mètres, etc.), alors pour un vecteur de coût X donné, nous n'avons qu'à choisir le vecteur de production Y sur la courbe des possibilités de production, mais il n'est pas encore possible de décider quel produit spécifique doit être choisi. Si l’ensemble de production τ lui-même est convexe, alors M x est également convexe pour tout vecteur de coût X. Dans ce qui suit, nous aurons besoin d’une stricte convexité de l’ensemble M x. Dans le cas de la production de deux biens, cela signifie que la tangente à la courbe des possibilités de production K x n'a qu'un seul point commun avec cette courbe.
Riz. 2.2. Courbe de possibilité de production
Examinons maintenant la question de ce que l'on appelle coûts d'opportunité. Supposons que la sortie soit fixée au point A(y 1 , y 2), voir Fig. 2.2. Il est désormais nécessaire d’augmenter la production du deuxième produit de y 2, en utilisant bien entendu le même ensemble de coûts. Cela peut être fait, comme le montre la Fig. 2.2, transférer la technologie au point B, pour lequel, avec une augmentation de la production du deuxième produit de y 2, il faudra réduire la production du premier produit de y 1.
Imputéfraisle premier produit par rapport au second au point UN appelé
. Si la courbe des possibilités de production est donnée par l'équation implicite F(y 1 ,y 2) = 0, alors δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), où les dérivées partielles sont prises au point A. Si vous regardez attentivement le chiffre en question, vous découvrirez un schéma intéressant : en descendant la courbe des possibilités de production depuis la gauche, les coûts d'opportunité diminuent de valeurs très élevées à des valeurs très petites. .
2.3. Fonctions de production et leurs propriétés
Une fonction de production est une relation analytique qui relie les valeurs variables des coûts (facteurs, ressources) avec la quantité de production. Historiquement, l’un des premiers travaux sur la construction et l’utilisation des fonctions de production a été celui de l’analyse de la production agricole aux États-Unis. En 1909, Mitscherlich propose une fonction de production non linéaire : engrais - rendement. Indépendamment, Spillman a proposé une équation de rendement exponentielle. Sur leur base, un certain nombre d'autres fonctions de production agrotechnique ont été construites.
Les fonctions de production sont conçues pour modéliser le processus de production d'une certaine unité économique : une entreprise distincte, une industrie ou l'ensemble de l'économie de l'État dans son ensemble. Grâce aux fonctions de production, les problèmes suivants sont résolus :
évaluer le retour des ressources dans le processus de production ;
prévoir la croissance économique;
élaborer des options pour un plan de développement de la production ;
optimiser le fonctionnement d'une business unit sous réserve d'un critère donné et de limitations de ressources.
Forme générale de la fonction de production : Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), où Y est un indicateur caractérisant les résultats de production ; X – indicateur factoriel de la ième ressource de production ; n – nombre d’indicateurs factoriels.
Les fonctions de production sont déterminées par deux groupes d'hypothèses : mathématiques et économiques. Mathématiquement, la fonction de production devrait être continue et doublement différentiable. Les hypothèses économiques sont les suivantes : en l'absence d'au moins une ressource de production, la production est impossible, c'est-à-dire Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =
Oui(X 1 , 0, …, X je , …, X n) = …
Oui(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …
Oui(X 1, X 2, …, X je, …, 0) = 0.
Cependant, il n'est pas possible de déterminer de manière satisfaisante le seul produit Y pour des coûts X donnés à l'aide d'indicateurs naturels : notre choix s'est limité uniquement à la « courbe » des possibilités de production K x . Pour ces raisons, seule la théorie des fonctions de production des producteurs a été développée, dont la production peut être caractérisée par une valeur - soit le volume de la production, si un produit est fabriqué, soit la valeur totale de la production entière.
L’espace des coûts est de dimension m. Chaque point de l'espace des coûts X = (x 1, ..., x m) correspond à une seule production maximale (voir Fig. 2.1) produite en utilisant ces coûts. Cette relation est appelée fonction de production. Cependant, la fonction de production est généralement comprise de manière moins restrictive et toute relation fonctionnelle entre les intrants et la production est considérée comme une fonction de production. Dans ce qui suit, nous supposerons que la fonction de production possède les dérivées nécessaires. La fonction de production f(X) est supposée satisfaire deux axiomes. La première indique qu’il existe un sous-ensemble de l’espace de coûts appelé zone économique E, dans lequel une augmentation de tout type d’intrant n’entraîne pas une diminution de la production. Ainsi, si X 1, X 2 sont deux points de cette région, alors X 1 X 2 implique f(X 1) f(X 2). Sous forme différentielle, cela s'exprime par le fait que dans cette région toutes les dérivées partielles premières de la fonction sont non négatives : f/x 1 ≥ 0 (pour toute fonction croissante, la dérivée est supérieure à zéro). Ces dérivés sont appelés produits marginaux, et le vecteur f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vecteur de produits marginaux (montre combien de fois la production changera lorsque les coûts changeront).
Le deuxième axiome stipule qu'il existe un sous-ensemble convexe S du domaine économique pour lequel les sous-ensembles (XS:f(X) a) sont convexes pour tout a 0. Dans ce sous-ensemble S, la matrice hessienne composée des les dérivées secondes de la fonction f(X) , est définie négative, donc 2 f/x 2 i
Arrêtons-nous sur le contenu économique de ces axiomes. Le premier axiome affirme que la fonction de production n’est pas une fonction complètement abstraite inventée par un théoricien mathématique. Elle reflète, bien que pas dans tout son domaine de définition, mais seulement dans une partie de celui-ci, une affirmation économiquement importante, incontestable et en même temps triviale : VDans une économie raisonnable, une augmentation des coûts ne peut pas entraîner une diminution de la production.À partir du deuxième axiome, nous expliquerons uniquement la signification économique de l'exigence selon laquelle la dérivée 2 f/x 2 i soit inférieure à zéro pour chaque type de coût. Cette propriété est appelée en économie pourLa loi des rendements décroissants ou des rendements décroissants: à mesure que les coûts augmentent, à partir d'un certain moment (lors de l'entrée dans la région S !), parle produit marginal commence à diminuer. L’exemple classique de cette loi est l’ajout de plus en plus de travail à la production de céréales sur une parcelle de terre déterminée. Dans ce qui suit, on suppose que la fonction de production est considérée sur une région S dans laquelle les deux axiomes sont valables.
Vous pouvez créer une fonction de production pour une entreprise donnée sans même rien y connaître. Il vous suffit de placer un compteur (soit une personne, soit une sorte d'appareil automatique) à la porte de l'entreprise, qui enregistrera X - ressources importées et Y - la quantité de produits fabriqués par l'entreprise. Si vous accumulez une quantité suffisante de ces informations statiques et prenez en compte le fonctionnement de l'entreprise dans différents modes, vous pouvez alors prédire la production en connaissant uniquement le volume des ressources importées, et c'est la connaissance de la fonction de production.
2.4. Fonction de production Cobb-Douglas
Considérons l'une des fonctions de production les plus courantes - la fonction Cobb-Douglas : Y = AK L , où A, , > 0 sont des constantes, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Négativité des dérivées partielles secondes, c'est-à-dire produits limites décroissants : Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Passons aux principales caractéristiques économiques et mathématiques de la fonction de production de Cobb-Douglas. Productivité moyenne du travail est défini comme y = Y/L – le rapport entre le volume de produit fabriqué et la quantité de travail dépensée; productivité moyenne du capital k = Y/K – rapport entre le volume du produit fabriqué et la valeur des fonds.
Pour la fonction Cobb-Douglas, la productivité moyenne du travail y = AK L , et en raison de la condition , avec l'augmentation des coûts de main-d'œuvre, la productivité moyenne du travail diminue. Cette conclusion permet une explication naturelle : puisque la valeur du deuxième facteur K reste inchangée, cela signifie que la main-d'œuvre nouvellement attirée ne reçoit pas de moyens de production supplémentaires, ce qui entraîne une diminution de la productivité du travail (cela est également vrai dans le cas le plus général - au niveau des ensembles de production).
Productivité marginale du travail Y/L = AβK α L β -1 > 0, ce qui montre que pour la fonction Cobb-Douglas, la productivité marginale du travail est proportionnelle à la productivité moyenne et est inférieure à celle-ci. Les productivités moyenne et marginale du capital sont déterminées de la même manière. Pour eux, le ratio indiqué est également valable : la productivité marginale du capital est proportionnelle à la productivité moyenne du capital et est inférieure à celle-ci.
Une caractéristique importante est telle que rapport capital-travail f = K/L, montrant le volume de fonds par employé (par unité de travail).
Trouvons maintenant l'élasticité travail de la production :
(Y/L) :(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.
Le sens est donc clair paramètre - Ce élasticité (rapport entre la productivité marginale du travail et la productivité moyenne du travail) de la production par travail. L'élasticité du travail de la production signifie que pour augmenter la production de 1 %, il est nécessaire d'augmenter le volume des ressources en travail de %. A une signification similaire paramètre – est l'élasticité de la production entre les fonds.
Et une autre signification semble intéressante. Soit + = 1. Il est facile de vérifier que Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (en remplaçant les Y/K, Y/L précédemment calculés dans cette formule). Supposons que la société soit composée uniquement de travailleurs et d'entrepreneurs. Ensuite, le revenu Y est divisé en deux parties : le revenu des travailleurs et le revenu des entrepreneurs. Puisqu'à la taille optimale de l'entreprise, la valeur Y/L - le produit marginal du travail - coïncide avec salaires(cela peut être prouvé), alors (Y/L)L représente le revenu des travailleurs. De même, la valeur Y/K est le rendement marginal du capital dont la signification économique est le taux de profit, donc (Y/K)K représente le revenu des entrepreneurs.
La fonction Cobb-Douglas est la plus connue parmi toutes les fonctions de production. En pratique, lors de sa construction, certaines exigences sont parfois supprimées (par exemple, la somme + peut être supérieure à 1, etc.).
Exemple 1. Soit la fonction de production la fonction Cobb-Douglas. Pour augmenter la production de a = 3 %, il faut augmenter les immobilisations de b = 6 % ou le nombre d'employés de c = 9 %. Actuellement, un travailleur fabrique des produits d'une valeur M = 10 4 roubles par mois . , et le nombre total d'employés est L = 1 000. Les immobilisations sont évaluées à K = 10 8 roubles. Trouvez la fonction de production.
Solution. Trouvons les coefficients , : = a/b = 3/6 = 1/2, = a/c = = 3/9 = 1/3, donc Y = AK 1/2 L 1/3. Pour trouver A, on substitue les valeurs K, L, M dans cette formule, en gardant à l'esprit que Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. D'où A = 100. Ainsi, la fonction de production a la forme : Y = 100K 1/2 L 1/3.
2.5. Théorie de l'entreprise
Dans la section précédente, lors de l'analyse et de la modélisation du comportement du fabricant, nous avons utilisé uniquement des indicateurs naturels et nous sommes passés des prix, mais nous n'avons pas pu résoudre définitivement le problème du fabricant, c'est-à-dire lui indiquer la seule ligne de conduite à adopter dans le contexte actuel. conditions. Considérons maintenant les prix. Soit P un vecteur prix. Si T = (X,Y) est une technologie, c'est-à-dire un vecteur d'entrées-sorties, X représente les coûts, Y est la sortie, alors le produit scalaire PT = PX + PY est le profit résultant de l'utilisation de la technologie T (les coûts sont des quantités négatives) . Formulons maintenant une formalisation mathématique de l'axiome qui décrit le comportement du fabricant.
Problème du fabricant : le fabricant sélectionne une technologie dans son ensemble de production, dans le but de maximiser ses profits. . Ainsi, le constructeur résout le problème suivant : PT→max, Tτ. Cet axiome simplifie grandement la situation de choix. Ainsi, si les prix sont positifs, ce qui est naturel, alors la composante « production » de la solution à ce problème se situera automatiquement sur la courbe des possibilités de production. En effet, soit T = (X,Y) une solution au problème du fabricant. Alors il existe ZK x , Z Y, donc P(X, Z) P(X, Y), ce qui signifie que le point (X, Z) est aussi une solution au problème du fabricant.
Pour le cas de deux types de produits, le problème peut être résolu graphiquement (Fig. 2.3). Pour ce faire, il faut « déplacer » une droite perpendiculaire au vecteur P dans la direction où elle pointe ; alors le dernier point, lorsque cette droite coupe encore l'ensemble de production, sera la solution (sur la figure 2.3, il s'agit du point T). Comme il est facile de le constater, la stricte convexité de la partie requise de l’ensemble de production dans le deuxième quadrant garantit l’unicité de la solution. Le même raisonnement s’applique dans le cas général, pour un plus grand nombre de types d’entrées et de sorties. Cependant, nous ne suivrons pas cette voie, mais utiliserons l'appareil des fonctions de production et appellerons le fabricant une entreprise. Ainsi, la production de l'entreprise peut être caractérisée par une valeur - soit le volume de la production, si un produit est fabriqué, soit la valeur totale de la production entière. L'espace de coût est de dimension m, le vecteur de coût X = (x 1, ..., x m). Les coûts déterminent de manière unique la production Y, et cette relation est la fonction de production Y = f(X).
Riz. 2.3. Résoudre le problème du fabricant
Dans cette situation, notons P le vecteur des prix des biens-coûts et soit v le prix d'une unité de bien manufacturé. Par conséquent, le profit W, qui est finalement fonction de X (et des prix, mais ils sont considérés comme constants), est W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Égalisation des dérivées partielles de la fonction W à zéro, on obtient :
v(f/x j) = p j pour j = 1, …, m ou v(f/X) = P (2.1)
Nous supposerons que tous les coûts sont strictement positifs (les zéros peuvent simplement être exclus de la considération). Alors le point donné par la relation (2.1) s’avère être interne, c’est-à-dire un point extremum. Et puisque la matrice hessienne de la fonction de production f(X) est également supposée être définie négativement (sur la base des exigences des fonctions de production), il s'agit du point maximum.
Ainsi, sous des hypothèses naturelles sur les fonctions de production (ces hypothèses sont satisfaites pour un producteur de bon sens et dans une économie raisonnable), la relation (2.1) donne une solution au problème de l'entreprise, c'est-à-dire qu'elle détermine le volume X * de ressources transformées, résultant en une sortie Y * = f(X *) Point X *, ou (X *,f(X *)) sera appelé la solution optimale de l'entreprise. Arrêtons-nous sur le sens économique de la relation (2.1). Comme indiqué, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) est appelé vecteur de produit marginal, ou vecteur de produits marginaux, et f/x i est appelé le i-ème produit marginal, ou publier une réponse au changement je -le coût de l'article. Par conséquent, vf/x i dx i est prix je -ème produit marginal obtenu en outre à partir de dx je unités je la ressource. Cependant, le coût des unités dx i de la ième ressource est égal à р i dx i , c'est-à-dire qu'un équilibre a été obtenu : il est possible d'impliquer des unités dx i supplémentaires de la ième ressource dans la production, en dépensant р je dx je sur son achat, mais il n'y aura aucun gain, t . Après traitement des produits, nous recevrons exactement le même montant que nous avons dépensé. En conséquence, le point optimal donné par la relation (2.1) est un point d'équilibre - il n'est plus possible d'extraire des biens-ressources plus que ce qui a été dépensé pour leur achat.
Évidemment, l'augmentation de la production de l'entreprise s'est produite progressivement : dans un premier temps, le coût des produits marginaux était inférieur au prix d'achat des biens et des ressources nécessaires à leur production. Les volumes de production augmentent jusqu'à ce que la relation (2.1) commence à être remplie : l'égalité de la valeur des produits marginaux et du prix d'achat des biens et des ressources nécessaires à leur production.
Supposons que dans le problème de l'entreprise W(X) = vf(X) – PX → max, X 0, la solution X * est unique pour v > 0 et P > 0. Ainsi, on obtient la fonction vectorielle X * = X * ( v, P), ou fonctions x * I = x * i (v, p 1 , p m) pour i = 1, …, m. Ces m fonctions sont appelées fonctions de demande de ressourcesà des prix donnés pour les produits et les ressources. Essentiellement, ces fonctions signifient que si les prix P des ressources et le prix v des biens produits ont été établis, un fabricant donné (caractérisé par une fonction de production donnée) détermine le volume de ressources transformées à l'aide des fonctions x * I = x * i (v, p 1, p m) et demande ces volumes sur le marché. Connaissant les volumes de ressources transformées et les substituant dans la fonction de production, nous obtenons la production en fonction des prix ; Notons cette fonction par q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Ça s'appelle fonction d'approvisionnement en produits en fonction du prix v pour les produits et des prix P pour les ressources.
Par définition, ressource de type i appelé de peu de valeur, si et seulement si,x * i /v c'est-à-dire que lorsque le prix d'un produit augmente, la demande pour une ressource de faible valeur diminue. Il est possible de prouver une relation importante : q * /P = -X * /v ou q * /p i = -x * i /v, pour i = 1, …, m. Par conséquent, une augmentation du prix d'un produit entraîne une augmentation (diminution) de la demande pour un certain type de ressource si et seulement si une augmentation du paiement pour cette ressource entraîne une réduction (augmentation) du rendement optimal. Cela montre la propriété principale des ressources de faible valeur : une augmentation de leur paiement entraîne une augmentation de la production ! Cependant, il est possible de prouver strictement l'existence de telles ressources, dont une augmentation du paiement entraîne une diminution de la production (c'est-à-dire que toutes les ressources ne peuvent pas être de faible valeur).
Il est également possible de prouver que x * i /p i sont complémentaires si x * i /p j sont interchangeables si x * i /p j > 0. Soit, pour les ressources complémentaires, une augmentation du prix de l'un d'eux entraîne une baisse de la demande de l'autre, et pour les ressources interchangeables, une augmentation du prix de l'une entraîne une augmentation de la demande de l'autre. Exemples de ressources complémentaires : un ordinateur et ses composants, des meubles et du bois, du shampoing et de l'après-shampooing pour celui-ci. Exemples de ressources fongibles : sucre et succédanés du sucre (par exemple, le sorbitol), pastèques et melons, mayonnaise et crème sure, beurre et margarine, etc.
Exemple 2. Pour une entreprise avec une fonction de production Y = 100K 1/2 L 1/3 (de l'exemple 1) trouver taille optimale, si la durée d'amortissement des immobilisations est N = 12 mois, le salaire mensuel de l'employé est a = 1 000 roubles.
Solution. La taille optimale de la production ou du volume de production est trouvée à partir de la relation (2.1). Dans ce cas, la production est mesurée en termes monétaires, donc v = 1. Le coût d'entretien mensuel d'un rouble de fonds est de 1/N, c'est-à-dire que nous obtenons un système d'équations
, en résolvant lequel nous trouvons la réponse : 
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.
2.6. Tâches
1. Soit la fonction de production la fonction de Cobb-Douglas. Pour augmenter la production de 1 %, il faut augmenter les immobilisations de b = 4 % ou le nombre d'employés de c = 3 %. Actuellement, un travailleur fabrique des produits d'une valeur M = 10,5 roubles par mois . , et le nombre total de travailleurs est L = 10 4 . Les immobilisations sont évaluées à K = 10 6 roubles. Trouvez la fonction de production, la productivité moyenne du capital, la productivité moyenne du travail, le ratio capital-travail.
2. Un groupe de « navettes » d'un montant de E a décidé de s'unir à N vendeurs. Le bénéfice d'une journée de travail (revenus moins dépenses, mais pas les salaires) est exprimé par la formule Y = 600(EN) 1/3. Le salaire du navetteur est de 120 roubles. par jour, vendeur - 80 roubles. par jour. Trouvez la composition optimale du groupe de « navettes » et de vendeurs, c'est-à-dire combien de « navettes » il doit y avoir et combien de vendeurs.
3. Un homme d’affaires a décidé de fonder une petite entreprise de camionnage. Après s'être familiarisé avec les statistiques, il a constaté que la dépendance approximative du revenu journalier sur le nombre de voitures A et le nombre N est exprimée par la formule Y = 900A 1/2 N 1/4. L'amortissement et autres dépenses quotidiennes pour une machine sont de 400 roubles, le salaire journalier d'un travailleur est de 100 roubles. Trouvez le nombre optimal de travailleurs et de véhicules.
4. L'homme d'affaires a décidé d'ouvrir un bar à bière. Supposons que la dépendance du revenu Y (moins le coût de la bière et des snacks) sur le nombre de tables M et le nombre de serveurs F soit exprimée par la formule Y = 200M 2/3 F 1/4. Le coût d'une table est de 50 roubles, le salaire du serveur est de 100 roubles. Trouvez la taille optimale du bar, c'est-à-dire le nombre de serveurs et de tables.
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Si, sur la trajectoire de croissance d’équilibre, aucun consommateur, comme aucun producteur, ne peut acheter davantage sans coûts supplémentaires (pas de profit à l’équilibre), alors lorsque l’économie se développe selon la trajectoire d’un tel « bien-être », aucun consommateur ne peut devenir plus riche sans s’appauvrir. en même temps un autre.
De la section précédente, il résulte que la prise en compte des facteurs temps dans modèles mathématiques l'économie aide à découvrir un lien tout à fait logique entre les processus économiques et la croissance naturelle des capacités de production et de consommation. Dans les modèles linéaires, sous certaines hypothèses, le taux d'une telle croissance est égal au pourcentage du capital et le processus d'expansion économique correspondant se caractérise par une augmentation équilibrée de l'intensité de production de tous les produits et une diminution équilibrée de leurs prix. Dans cette section, nous formulerons un modèle dynamique général de production, couvrant les modèles linéaires évoqués précédemment comme cas particuliers, et y étudierons les questions de croissance équilibrée.
La généralité du modèle considéré ici est que le processus de production est décrit non pas à travers la fonction de production en général, et la fonction de production linéaire (comme dans les modèles de Leontief et Neumann) en particulier, mais à l'aide de ce que l'on appelle ensemble technologique.
Variété technologique(notons-le par le symbole ) - c'est l'ensemble des transformations économiques lorsque la production de produits aux coûts est technologiquement possible si et seulement si . Le couple s'appelle processus de production, donc l'ensemble représente l'ensemble de tous les processus de production possibles avec une technologie donnée. Par exemple, dans le modèle de Léontiev, l'ensemble technologique j-ème industrie a la forme 
où est la production brute j-ème produit, et - jème colonne de la matrice technologique UN. Par conséquent, l’ensemble technologique du modèle de Léontiev dans son ensemble est 
et dans le modèle Neumann - 
Le processus de production, de manière générale, peut contenir des produits qui sont à la fois consommés et rejetés (par exemple, carburants et lubrifiants, farine, viande, etc.). Dans les modèles économiques et mathématiques, pour une plus grande généralité, on suppose souvent que chaque produit peut être à la fois consommé et produit (par exemple dans les modèles de Léontiev et Neumann). Dans ce cas les vecteurs x Et oui ont la même dimension et leurs composants correspondants représentent les mêmes produits.
Soit le volume dépensé je-ème produit, et est son volume de sortie. Alors la différence s’appelle sortie nette en cours. Par conséquent, au lieu du processus de production, le vecteur de la production nette est souvent considéré, qualifiant cette différence comme couler(ou intensité), c'est-à-dire la quantité de production nette par unité de temps. Dans ce cas, l’ensemble technologique est compris comme l’ensemble de toutes les productions pures possibles. et le vecteur s'appelle processus avec fil.
Énumérons quelques propriétés de l'ensemble technologique, qui reflètent les lois fondamentales de la production.
Différents processus de production peuvent être comparés en termes d'efficacité et de rentabilité.
Un processus est dit plus efficace qu’un processus si , . Le processus est appelé efficace, à moins qu'il ne contienne des processus plus efficaces que .
Soit un vecteur de prix. Ils disent que le processus plus rentable que le processus si la valeur n'est pas inférieure à la valeur.
Ces deux options d'évaluation naturelle et de coût des procédés s'avèrent quasiment équivalentes.
Théorème 6.1. Soit un ensemble technologique. Alors a) si, étant donné le vecteur prix, le processus maximise le profit sur l’ensemble, alors c’est un processus efficace ; b) si u est convexe et efficace dans le processus, alors il existe un vecteur prix tel que le profit atteint un maximum à
Déterminons la structure de l'ensemble technologique pour les modèles qui prennent en compte le facteur temps. Considérons une période de planification avec des points discrets. Laissez l'économie être caractérisée par un stock de marchandises dans un an (c'est-à-dire au début de la période de planification). 
Dans ce cas, l’économie est dite dans un état de . À la fin de la période, l’économie atteint un état différent, prédéterminé par l’état précédent. Dans ce cas, ils disent que le processus de production a été mis en œuvre là où se trouve un ensemble technologique donné. Ici, le vecteur est considéré comme les coûts encourus au début de la période, et comme la production correspondant à ces coûts, produite avec un décalage d'un an. Aux prochaines étapes de production, nous avons 
etc. De cette façon, on réalise dynamique de développement économique. Un tel mouvement économique est auto-entretenu, puisque les produits du système sont reproduits sans aucun afflux extérieur.
La suite finie de vecteurs est appelée trajectoire économique acceptable(décrit par l'ensemble technologique Z) sur un intervalle de temps si chaque paire de ses deux membres consécutifs appartient à l'ensemble Z, c'est-à-dire 
Notons par l'ensemble de toutes les trajectoires admissibles sur l'intervalle correspondant à l'état initial
Laisser 
On dit que la trajectoire est plus efficace que si la trajectoire s'appelle trajectoire efficace, s'il ne contient pas de trajectoire plus efficace que . La trajectoire s'appelle plus rentable que si 
Concept est familier à chaque personne, puisqu'elle naît et vit parmi un ensemble de choses caractéristiques de la culture matérielle de sa société. Même toute la théorie économique commence par une description de l'ensemble des sujets, qui a été donnée dans l'ouvrage, en comparant le nombre et la quantité d'objets et le nombre de professions (technologies) qui déterminaient la richesse d'un État particulier. Une autre chose est que toutes les théories précédentes ont accepté cette position de manière axiomatique, mais avec la perte d'intérêt pour le concept qu'elles comprenaient le sens de l'ensemble sujet-technologique uniquement en relation avec le séparé .
C’est donc encore une découverte qui PTM associé à, qui ne peut que parfois coïncider avec l'économie de l'État. Le phénomène de l'ensemble sujet-technologique s’est avéré pas aussi simple que le pensaient les économistes. Dans cet article sur l'ensemble sujet-technologique le lecteur trouvera non seulement description de l'ensemble sujet-technologique comme, mais aussi l'histoire de la reconnaissance PTM comme mesure permettant de comparer le développement des pays.
ensemble thématique-technologique
Les gens eux-mêmes sont le produit d'un niveau de vie assez élevé, que les hominidés des steppes ont atteint grâce à l'apparition de quelques individus stables dans leurs troupeaux. Si pour les primates la cueillette, comme moyen d'obtenir des ressources sur le territoire d'un complexe naturel, ne nécessitait pas les efforts combinés de plusieurs individus, alors la chasse aux grands ongulés, qui devint le principal moyen d'assurer l'existence des hominidés lors du développement de les steppes, était une activité organisée de manière complexe avec une répartition des rôles entre plusieurs participants.
Dans le même temps, la petite taille des hominidés des steppes ne leur permettait pas de tuer un gros animal sans outils de chasse, même en groupe. Cependant, dans les steppes, les pierres de forme appropriée ne sont pas dispersées partout et il est difficile de trouver un bâton aiguisé, les hominidés devaient donc emporter avec eux des outils de chasse. Avec les vêtements apparus lors de la marche debout, dont la conséquence était la perte des cheveux, et simplement à cause du climat frais des steppes, les Troupeaux-TRIBES acquièrent un certain ensemble, en d'autres termes - beaucoup- des objets dont la présence permet aux membres de vivre sans faim.
Les gens apparaissent avec le luxe, c'est-à-dire des objets pour lesquels les hominidés n'avaient pas le temps auparavant - soit pour s'approprier simplement des objets de la nature qui les intéressaient, soit pour les produire avec du travail, puisqu'il n'y avait ni besoin ni possibilité d'emporter constamment avec eux. eux. Les articles de luxe incluent tous les outils améliorés, après tout, pour l'homme, en tant qu'espèce de mammifères, un ensemble de biens vitaux suffit à la vie, dont la production était entièrement assurée par la variété d'objets que les hominidés possédaient en troupeaux. En tant qu'être biologique, l'homme, il y a déjà des millions d'années, pouvait vivre et vivait au-dessus du niveau des hominidés avec la même variété d'objets, mais chez les humains, il est si fort que les gens ne se sont pas arrêtés au niveau des hominidés, comme ils auraient dû l'être. pour une espèce animale qui avait atteint un niveau de prospérité. Les gens n’ont pas eu la possibilité d’améliorer leurs conditions de vie environnement naturel, alors ils commencent à créer leur propre environnement artificiel à partir d'objets de travail.
Dans les tribus humaines, l'influence a continué à opérer, héritée des hominidés, dans les troupeaux desquels le premier consommateur de tout luxe (de belles plumes comme exemple de « charme ») ne pouvait être que le chef. Lorsque le chef avait beaucoup de plumes, il les donnait à ses associés, membres de haut rang. Tel pratique des cadeaux parmi les membres restants de la tribu, cela a donné naissance à la croyance que la possession d’un objet appartenant au chef augmente le statut du propriétaire dans la hiérarchie. La consommation conforme au statut obligeait les membres de haut rang de la société à exiger les choses les plus luxueuses.
Dans le même temps, de nombreux membres de rang inférieur sont prêts à sacrifier beaucoup pour obtenir des choses grâce aux hiérarques, car la possession de ces choses leur permet de ressentir une augmentation de leur statut devant les autres. Ainsi, les choses qui apparaissaient pour la première fois dans la vie quotidienne des hiérarques, sous forme de copies, devenaient des objets de consommation pour les membres de haut rang, et la convoitise des autres membres dotés d'un fort instinct hiérarchique conduisait à une production de masse, ce qui faisait baisser le prix. rendre la chose accessible à n'importe quel membre de la communauté. Cette course aux choses prestigieuses s'est poursuivie pendant des milliers d'années, augmentant la variété des objets, de sorte que nous vivons désormais entourés de millions d'objets qui rendent la vie des gens SEULEMENT BEAUCOUP PLUS CONFORTABLE que le style de vie de l'ancêtre hominidé.
Mais biologiquement, une personne est toujours le même hominidé avec un instinct hiérarchique, qu'elle réalise dans un domaine appelé -. Ensemble sujet-technologique Il y a une autre différence entre les humains et les animaux - il s'agit d'un nouvel habitat artificiel que les humains créent grâce au progrès scientifique et technologique dont le moteur est. Comme on le voit, il n'y a rien de sacré dans le DÉVELOPPEMENT ÉCONOMIQUE, seule la satisfaction fait partie des instincts.
On peut dire qu'il est familier à chaque personne, puisqu'il naît et vit entouré d'une multitude d'objets, mais l'idée d'un ensemble objet-technologique est apparue lorsqu'ils ont décidé comparer richesse des différents États. Et puis ensemble thématique-technologique s'est avéré être un indicateur clair de richesse ou de degré de développement. Dans un cas, une comparaison par assortiment est possible - c'est-à-dire par le nombre d'objets différents, qui permet de caractériser l'évolution d'une même société sur une certaine période de temps (qui est décrite dans le thème du progrès scientifique et technologique). Dans un autre cas, on peut dire que une société est plus riche qu'une autre, mais il faut ensuite ajouter au paramètre d'assortiment une caractéristique de la qualité et de l'excellence technologique des articles comparés (ceci est étudié dans le thème -). Mais, en règle générale, dans l'ensemble d'objets d'une société plus riche, apparaissent des objets fondamentalement nouveaux, dans la fabrication desquels de nouvelles technologies ont été utilisées. Le lien entre des produits et des technologies plus avancés et fondamentalement nouveaux est tout à fait évident, par conséquent, ce qu'une certaine société possède, présuppose non seulement une liste d'éléments, mais aussi ensemble de technologies, permettant la production de ces produits dans la sphère de production de cette société.
Pour les anciennes théories économiques, l’unité économique est l’économie d’un État souverain. C'est la population de l'État qui est considérée comme une communauté dont l'ensemble technologique est déterminé par la capacité de l'économie d'un État donné à produire tous ces articles. Et le lien avec la technologie est supposé être mécanique - littéralement, si l'État dispose de technologies, alors rien n'empêche la production de produits qui leur correspondent.
Cependant, avec l'avènement du système mondial de division du travail, l'imprécision d'identifier l'économie d'un pays avec cette communauté de personnes qui a un attribut tel que ensemble thématique-technologique. Le fait est que dans les pays participant à la division internationale du travail, la plupart des composants, pièces et pièces de rechange à partir desquels les produits finis sont assemblés ici peuvent même ne pas être produit sur le territoire de cet état et, à l’inverse, seules des pièces sont produites, mais aucun produit final n’est produit.
Ici, il faut dire que incohérence LA DISPONIBILITÉ de la technologie et la POSSIBILITÉ de fabriquer certains produits à partir de celle-ci existaient AVANT la division internationale du travail, mais la vieille science économique incohérence Je n'ai pas remarqué, encore plus - dans la compréhension des théories précédentes - que les économies de tous les États étaient équivalentes (la différence n'était acceptée qu'en taille - l'une pouvait être plus grande ou plus petite que l'autre) et dès que la technologie était donnée, la POSSIBILITÉ de produire n'importe quoi est immédiatement apparue.
Le fait que la pratique ait réfuté ces hypothèses théoriques n’a pas empêché la vieille science économique de donner aux pays en développement des recettes pour construire des installations de production de toute complexité technologique. Un exemple très courant est celui de la Roumanie, qui, selon les économistes, n'a aucun obstacle à atteindre le niveau des États-Unis d'Amérique, du moins dans le domaine de la production, même s'il est clair que pour la variété technologique Pour que la Roumanie devienne aussi grande qu'aux Etats-Unis, il est nécessaire d'avoir au moins autant de personnes dans la production. Cependant, si l'assortiment technologique des États-Unis dépasse le nombre d'habitants de la Roumanie, il n'est pas clair qui, sur le territoire de la Roumanie, sera en mesure de produire autant d'articles.
Il existe des limites objectives au développement - et elles ne se résument probablement pas seulement à l'ampleur du système de division du travail qui peut être créé dans le pays (par exemple, en Inde, où la population permet théoriquement de créer le plus grand système de division du travail au monde). , mais d'après la possibilité théorique - l'Inde n'est pas devenue plus riche) , et en . Par exemple, la Finlande est à court terme a réussi à prendre la place du pays le plus avancé dans la production de téléphones mobiles. Mais les téléphones Nokia fabriqués ne sont pas tous restés dans le domaine technologique de la Finlande ; ils ont reconstitué les domaines thématiques de nombreux pays. Nous devons donc conclure - puissance de l'ensemble sujet-technologique Un produit spécifique n'est pas tant déterminé par le nombre de personnes employées dans la production, mais dans une plus large mesure par la taille du marché (le nombre de produits en dépend), et surtout, par la présence d'une DEMANDE effective de masse pour le produit.
Comme vous pouvez le voir maintenant - concept d'ensemble sujet-technologique n'est pas aussi simple qu'il y paraît. Premièrement, nous comprenons maintenant que ensemble thématique-technologique plutôt lié à un système de division du travail, et non à l'État (dans le sens, bien qu'historiquement ensemble thématique-technologique nous déduisons de l'objectif fixé, qui était le premier). Ce système peut être partie interne ou externe supersystème par rapport à la population. Deuxièmement, imaginez ensemble thématique-technologique nous pouvons, s'il a un assortiment dénombrable - sinon, le nombre d'objets différents qu'il contient est fini, ce qui implique à un moment donné dénombrable nombre limité de personnes dans la communauté. Si nous entendons par communauté ayant PMT, un système de division du travail, il faut alors parler de sa PROXIMITÉ, puisque les objets de l'ensemble sont à la fois produits et consommés dans ce système.
Le vôtre scientifique sens ensemble sujet-technologique reçoit avec ouverture nouvel objet dans l'économie, qui a appelé , ce qui représente fermé, dans lequel les articles produits y sont également consommés. Un exemple de complexe reproducteur existe, mais le suivant - tel que, et surtout - pourrait en avoir une combinaison de plusieurs.
Le terme ensemble sujet-technologique utilisé déjà dans ses premiers travaux, lorsqu'il s'est intéressé à l'interaction des pays développés et en développement. C'est à ce moment-là que j'ai commencé à utiliser terme ensemble sujet-technologique, comme une certaine caractéristique des systèmes de division du travail qui se sont développés en différents pays. Ensuite, il n'était pas très clair à quelle entité il était lié. PMT, c'est pourquoi terme ensemble sujet-technologique a été utilisé pour caractériser les états lors de leur comparaison. Ici, j'ai suivi le fondateur de l'économie politique, qui, dans ses travaux, comparait le bien-être des pays à une comparaison du nombre et du volume des produits fabriqués par le travail des citoyens.
Admissibilité à l'utilisation Notions PMTà l'État - reste, mais le lecteur doit se rappeler - ensemble thématique-technologique caractérise fermé un système de division du travail, qui dans certains modèles peut signifier économie d'un État indépendant.
Une autre question directement liée à la prévision du présent - La variété technologique peut-elle diminuer ? La réponse est bien sûr que c’est possible, même si beaucoup pensent que le progrès scientifique et technologique ne peut qu'augmenter puissance de l'ensemble sujet-technologique, si vous le considérez comme un attribut de l’État. Force est de constater que certains objets disparaissent naturellement de la vie quotidienne des gens, d’autres sont tellement améliorés qu’ils ne ressemblent plus à leur prototype historique. Ce processus naturel est associé à l'émergence de nouvelles technologies, mais, comme l'a montré l'histoire de l'Empire romain - ensemble thématique-technologique peut rétrécir avec l'oubli de toutes les réalisations technologiques, si le système de division du travail qui le remplace n'est pas capable d'assurer la reproduction PTM dans son intégralité.
Au début de notre ère, une crise démographique commence en Europe, de sorte que les tribus ne peuvent pas germer ensemble, et la volonté d'éliminer l'excédent de population conduit à l'accaparement des terres. À la périphérie de l'Empire romain, les États commencent à se transformer, et il s'avère que la Rome antique (comme Grèce antique) était une branche de l'Empire d'Orient sur le continent européen. L’Europe indigène entre dans l’état naturel de la période de formation de l’État qui, en Europe, en raison du petit nombre initial de population qui la développait, a changé des siècles plus tard qu’à l’EST. L'Empire romain n'avait aucune chance de résister au désir d'expansion des tribus et la perte de territoires détruisit le système établi de division du travail, dont l'effondrement entraîna la disparition de la demande pour les anciens produits quotidiens des Romains. L'effondrement du sujet a été si grand que de nombreux technologues romains ont été complètement oubliés et n'ont été redécouverts qu'après un millénaire, et le niveau de vie qui existait dans les villes de la Rome antique n'a été atteint à nouveau en Europe qu'au 19ème siècle, par exemple. , eau courante dans les étages supérieurs des immeubles à plusieurs étages.
J'ai exposé les principales nuances du concept ensemble thématique-technologique, mais doit diriger définition de l'ensemble sujet-technologique du Glossaire officiel de la néoéconomie :
LE CONCEPT DE MULTIPLE SUJET-TECHNOLOGIQUE (PTM)
Ce MULTIPLE SUJET-TECHNOLOGIQUE se compose d'objets (produits, pièces, types de matières premières) qui existent réellement dans un certain système de division du travail, c'est-à-dire qu'ils sont produits par quelqu'un et, par conséquent, consommés - vendus sur le marché ou distribués. Quant aux pièces, elles ne peuvent pas être des marchandises, mais faire partie des marchandises.
Une autre partie de cet ensemble est un ensemble de technologies, c'est-à-dire des méthodes de production de biens vendus sur le marché - à partir de et/ou avec - en utilisant les éléments inclus dans cet ensemble. C'est-à-dire la connaissance des séquences d'actions correctes avec les éléments matériels de l'ensemble.
À chaque période de temps, nous avons ensemble thématique-technologique(PTM) différent en puissance. Alors que la division du travail s’approfondit PTM est en expansion.
L'importance de ce concept est déterminée par le fait que PTM détermine la possibilité progrès scientifique et technologique. Quand pauvre PTM les nouvelles inventions, même si elles peuvent être mises en œuvre sous forme de prototypes, n'ont généralement aucune chance d'être mises en série si elles nécessitent certains produits ou technologies qui ne sont pas disponibles dans PTM. Ils s’avèrent tout simplement trop chers.
Documents connexes
Devant toi se trouve seulement extrait du chapitre n°8 du livre The Age of Growth, dans lequel donne description de l'ensemble sujet-technologique:
Présentons concept d'ensemble sujet-technologique. Cet ensemble est constitué d'objets (produits, pièces, types de matières premières) qui existent réellement, c'est-à-dire produits par quelqu'un et, par conséquent, vendus sur le marché. Quant aux pièces, elles ne peuvent pas être des marchandises, mais faire partie des marchandises. La deuxième partie de cet ensemble est constituée de technologies, c'est-à-dire de méthodes de production de biens vendus sur le marché à partir et à l'aide des éléments inclus dans cet ensemble. C'est connaissance des séquences d'actions correctes avec les éléments matériels de l'ensemble.
À chaque période de temps, nous avons un pouvoir différent ensemble thématique-technologique (PTM). À propos, cela ne peut pas seulement se développer. Certains objets ne sont plus produits, certaines technologies sont perdues. Peut-être que les dessins et les descriptions subsistent, mais en réalité, si cela s'avère soudain nécessaire, la restauration des éléments PTM peut être un projet complexe, essentiellement une nouvelle invention. Ils disent que lorsqu'à notre époque ils ont essayé de reproduire la machine à vapeur de Newcomen, ils ont dû déployer d'énormes efforts pour la faire fonctionner d'une manière ou d'une autre. Mais au XVIIIe siècle, des centaines de ces machines fonctionnaient avec succès.
Mais, en général, PTM Pour l'instant, il est en expansion. Soulignons deux cas extrêmes de la façon dont cette expansion peut se produire. La première est l’innovation pure, c’est-à-dire complètement nouvel article, créé à l'aide d'une technologie jusqu'alors inconnue à partir de matières premières complètement nouvelles. Je ne sais pas, je soupçonne que ce cas ne s’est jamais produit dans la réalité, mais supposons que cela puisse être le cas.
Le deuxième cas extrême est celui où de nouveaux éléments de l'ensemble sont formés comme des combinaisons d'éléments déjà existants. PTM. De tels cas ne sont pas rares. Schumpeter considérait déjà l’innovation comme de nouvelles combinaisons de ce qui existe déjà. Prenons les mêmes ordinateurs personnels. Dans un sens, on ne peut pas dire qu’ils ont été « inventés ». Tous leurs composants existaient déjà et étaient simplement combinés d'une certaine manière.
Si l’on peut parler ici d’une découverte, c’est que l’hypothèse de départ : « ils vont acheter cette chose » était totalement justifiée. Cependant, si vous y réfléchissez, ce n'était pas du tout évident, et c'est précisément là que réside la grandeur de la découverte.
D'après ce que nous comprenons, la plupart des nouveautés PTM représentent un cas mixte : plus proche du premier ou du deuxième. Ainsi, la tendance historique, me semble-t-il, est que la part des inventions proches du premier type diminue, et celles proches du second augmentent.
En général, à la lumière de mon histoire sur les appareils de la série UN et appareil B Il est clair pourquoi cela se produit. Pour plus de détails, consultez le chapitre 8 du livre en cliquant sur le bouton :
Isoquants et isoclines PF
Si nous revenons à la méthode de l'analogie, alors, comme dans le cas du modèle du comportement du consommateur, dans la théorie de la modélisation des processus de production, nous pouvons mettre en évidence le concept de courbe d'indifférence du fabricant. Ce concept peut correspondre à de nombreux ensembles de facteurs de production, qui correspondent à la même quantité de produit produit, à savoir :
L’ensemble des points satisfaisant l’égalité (4.1) est appelé isoquant PF ( iso- constante, quantité- quantité). Chaque isoquant correspond à un niveau différent de production du produit ( oui ), et les isoquants plus éloignés du point zéro (points d'inaction) correspondent à des valeurs plus élevées oui . Les isoquants ont également les mêmes propriétés que les courbes d'indifférence (elles sont parallèles entre elles, ne coupent pas les axes des abscisses et des ordonnées, etc.) Pour un PF à deux facteurs, un isoquant exprimera essentiellement la dépendance fonctionnelle des coûts de capital sur le travail coûts à un niveau donné de produit fabriqué :
Le fabricant, en variant les technologies, peut choisir différentes combinaisons de facteurs de production et maintenir un niveau de production constant. Selon l'isoquant, une augmentation d'un facteur entraînera une diminution d'un autre. Il doit donc exister une caractéristique permettant d’évaluer la compensation d’un facteur par un autre. Cette caractéristique est taux marginal de substitution(similaire à la même caractéristique dans la théorie de l'utilité du consommateur) :
, (4.2)
ce qui montre l'ampleur de l'augmentation du facteur j compensera la réduction du facteur je par unité afin que le niveau de production du produit reste le même (substitution de facteur je facteur j ).
Ainsi, le remplacement inverse (du facteur j par le facteur i) sera caractérisé par la valeur réciproque : 
.
Selon la relation entre le coefficient d'élasticité et le produit marginal (4.1), le taux marginal de substitution peut s'exprimer comme suit :
(4.3)
D’après (4.1) pour un PF à deux facteurs nous avons :
- le taux maximum de remplacement du capital par du travail ;
- le taux maximum de remplacement du travail par du capital.
D’après (4.3), pour un modèle à deux facteurs, le taux marginal de substitution peut également être exprimé à travers des coefficients d’élasticité :
, Où À
– le ratio capital-travail.
Avec les isoquants, un rôle important dans le PF est joué par isoclines – ensembles de points de la zone économique pour lesquels le taux marginal de substitution je -ième facteur j -m est constant :
En utilisant le concept d'isocline (isocline), vous pouvez transformer un ensemble arbitraire de facteurs (L,K) inclus dans l'ensemble (Y, MME) , c'est-à-dire résoudre le système d'équations :
sera:
PF homogène avec un taux marginal constant de substitution du travail avec le capital et un degré d'homogénéité δ=1
appartient à la classe des fonctions linéaires, c'est-à-dire 
.
Ainsi, pour un PF à deux facteurs, chaque point de l'isoquant est caractérisé par les coûts du capital et du travail ou le taux marginal de substitution du travail par le capital Mme LK et ratio capital-travail k . Si nous nous tournons vers la représentation géométrique, alors Mme LK est égal au coefficient angulaire de la tangente à un point isoquant donné, et la valeur de k est le coefficient angulaire du rayon émergeant de l'origine et passant par un point isoquant donné (voir. Riz. 4.2).
Figure 4.2
Par exemple, au point DANS
la valeur des coûts de main-d'œuvre est supérieure à ce qu'elle était au moment UN
, donc la valeur Mme LK
au point DANS
moins qu'au point UN
. En conséquence, point DANS
correspondra à un ratio capital-travail inférieur à celui du moment UN
.
Ainsi, le lien entre l'évolution du rapport capital-travail et le taux marginal de substitution du travail au capital devient évident, c'est-à-dire que nous revenons au concept d'élasticité, à savoir l'élasticité de substitution du travail par le capital, qui montre de quel pourcentage le ratio capital-travail changera lorsque le taux marginal de substitution du travail au capital changera d'un pour cent :
(4.4)
On peut également montrer graphiquement qu’à mesure que la courbure de l’isoquant augmente, l’élasticité Eσ
diminue (voir Riz. 4.3).
Figure 4.3
Notez que dans les deux cas aux points UN Et DANS valeurs Mme LK restent les mêmes, et la valeur du ratio capital-travail au point UN plus haut qu'au point DANS . Il en résulte encore une chose propriété importante: pour un PF homogène, l'élasticité de substitution du travail par le capital ne dépend que du ratio capital-travail et reste constante le long des rayons émergeant du point zéro.
Exprimons le lien entre Mme LK Et k à élasticité constante Eσ . D’après (4.4) on a :
(4.5)
En supposant une dépendance Mme LK(k) , on peut écrire (4.5) sous la forme d’une équation différentielle ordinaire :
(4.6)
L'intégration (4.6) donne :
ou après conversion :
, Où
Par conséquent, la condition de constance de l’élasticité de substitution du travail par le capital donne une relation de loi de puissance entre les quantités Mme LK Et k . Ainsi, le cas d'élasticité unitaire correspondra à une relation linéaire entre les grandeurs indiquées :
L’introduction du concept d’élasticité constante de substitution a conduit à forme générale PF homogène, pour lequel l'élasticité de substitution des facteurs est constante. De tels PF sont appelés PF Classe CES (Élasticité constante de substitution). Les fonctions de cette classe ont été proposées pour la première fois Flèche par Kenneth Et Solow par Robert en 1961. Les fonctions de cette classe supposent que le remplacement du travail par le capital n'est possible que dans certaines limites et qu'il n'existe aucune technologie qui permettrait la production d'une quantité donnée de produit à des coûts de facteurs de production inférieurs à certaines valeurs critiques. (Géométriquement, cela signifie qu'il est possible de construire des asymptotes à l'isoquant, et elles correspondront aux valeurs minimales possibles du travail et du capital. Il est possible de dériver des relations mathématiques pour les asymptotes ; nous ne présenterons pas ce matériel dans cette présentation.)
De nombreux PF sont essentiellement des cas particuliers ou limites de fonctions CES, dont les principales caractéristiques sont données dans Tableau 4.1.
Tableau 4.1
Concept de système de production et de processus de production. Processus et variété technologique
La tâche principale de tout processus de production est de créer de la valeur ajoutée et un nouveau produit économique, qui participe ensuite aux processus ultérieurs d'échange et de consommation. On sait que le processus de production est une condition de l'émergence des processus de consommation, d'une part, et que, d'autre part, l'arrêt de la consommation entraîne l'arrêt du processus de production. Par conséquent, le développement des processus de production est déterminé par le comportement économique du consommateur. Cette relation peut être représentée sous la forme du modèle conceptuel suivant pour le fonctionnement d'une entité économique : 
Le maillon central est le modèle du processus de production, qui relie les variables d'entrée du système de production aux variables de sortie ; le modèle de marché des ressources est une condition nécessaire au fonctionnement du processus de production ; le modèle de marché des biens est une condition nécessaire à l'existence et à la reprise du processus de production ; modèle de prise de décision - le choix de la meilleure décision, dans un certain sens, d'un producteur de matières premières concernant les volumes de production, sur la base d'informations sur les conditions du marché et les capacités de production.
Représentations modernes dans le domaine de la modélisation des processus de production sont basés sur des théories économistes -néoclassique , qui a proposé un modèle de personne « économique », dont le comportement économique est déterminé par la fonction d’utilité.
Ainsi, processus de production est le processus de création de valeur ajoutée par la transformation délibérée d’un ensemble de biens en un autre. Le système économique dans lequel le processus de production est organisé et se déroule est appelé système de production ou production. Le but de tout système de production est l’état futur final spécifique souhaité ou le résultat de l’activité économique. Du point de vue de la théorie économique néoclassique, les objectifs du fabricant sont de maximiser les revenus ou les profits, ou de minimiser les coûts. Les biens consommés au cours du processus de production sont appelés facteurs de production, marchandises reçues à la suite du processus de production – produits de fabrication.
De ce point de vue, tout système de production doté d’une structure interne complexe est une « boîte noire », tandis que les informations sur facteurs de production(informations d'entrée) et le produit de la production (résultat), et la structure interne inconnue est décrite à l'aide d'une fonction de production. Il ne faut pas oublier que le modèle de la « boîte noire » est utile pour un économiste, mais inutile pour un gestionnaire qui réforme la structure organisationnelle et les processus au sein du système.
Outre le concept de fonctions de production, des concepts tels que le concept d'élasticité des facteurs de production et le taux marginal de substitution des facteurs de production sont importants pour la modélisation des processus de production, puisque les ressources du système de production peuvent agir comme biens de substitution. De plus, dans un processus de production réel, il est impossible de fabriquer un produit en l'absence totale de tout facteur de production, c'est-à-dire qu'on peut parler de complémentarité des facteurs de production, c'est-à-dire de leur complémentarité.
Technologie- est un moyen technique de convertir les facteurs de production en produits. Il existe un grand nombre de technologies disponibles parmi lesquelles les fabricants choisissent la plus efficace. La technologie définit la relation entre un élément toi parmi les facteurs de production et l'élément v de la zone de produits. Processus est un ensemble de relations entre les éléments toi je Et vj (), c'est donc le modèle le plus simple du processus de production. À son tour, l'ensemble des processus technologiques forme ensemble technologique . Les ensembles technologiques ont les propriétés suivantes :
1. l'impossibilité de l'existence d'une « corne d'abondance », c'est-à-dire qu'un processus technologique nul (sans les coûts des facteurs de production) appartient à l'ensemble technologique et signifie l'inaction ;
2. l'ensemble technologique est convexe, c'est-à-dire que les processus technologiques peuvent être combinés (certains processus technologiques peuvent être une combinaison convexe d'autres) ;
3. l'ensemble technologique est limité d'en haut, qui est associé à des ressources limitées (épuisables) (facteurs de production) ;
4. l'ensemble technologique est fermé, c'est-à-dire qu'il a des limites.
Efficace les processus technologiques sont décrits par des points situés sur la frontière effective d'un ensemble technologique convexe.
La méthode des ensembles technologiques permet de décrire une production multi-articles, puisqu'un passage strict des ensembles technologiques aux fonctions de production est possible en agrégeant les facteurs de production et les produits.
En conclusion, notons qu'il existe deux approches alternatives pour résoudre le problème du contrôle optimal des processus de production. La première approche considère le problème de la maximisation de la production d'un produit sous des contraintes budgétaires fixes. La solution à ce problème repose sur l'analyse de la fonction de production du système de production, en tenant compte de la valeur marchande du travail et du capital et de la taille du budget de production. La deuxième approche résout le problème de la minimisation des coûts de production à un niveau donné de production de produits. Ce problème est résolu à l’aide d’une fonction de coût pouvant être calculée à partir d’une fonction de production existante. Ces deux approches conduisent au même résultat lors de la résolution de problèmes d’optimisation. ( Souvenez-vous de la dualité !).
