Multiplier des fractions dans une colonne de règles. Multiplier des nombres décimaux par des nombres naturels

Tout comme les numéros normaux.

2. On compte le nombre de décimales pour la 1ère fraction décimale et pour la 2ème. Nous additionnons leurs chiffres.

3. Dans le résultat final, comptez de droite à gauche le même nombre de chiffres que dans le paragraphe ci-dessus, et mettez une virgule.

Règles de multiplication de fractions décimales.

1. Multipliez sans faire attention à la virgule.

2. Dans le produit, nous séparons le même nombre de chiffres après la virgule décimale qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Lorsque vous multipliez une fraction décimale par un nombre naturel, vous devez :

1. Multipliez les nombres sans faire attention à la virgule ;

2. En conséquence, nous plaçons la virgule de manière à ce qu'il y ait autant de chiffres à sa droite qu'il y en a dans la fraction décimale.

Multiplier des fractions décimales par colonne.

Regardons un exemple :

Nous écrivons les fractions décimales dans une colonne et les multiplions sous forme de nombres naturels, sans prêter attention aux virgules. Ceux. Nous considérons 3,11 comme 311 et 0,01 comme 1.

Le résultat est 311. Ensuite, nous comptons le nombre de signes (chiffres) après la virgule décimale pour les deux fractions. La première fraction décimale a 2 chiffres et la seconde - 2. Le nombre total de chiffres après la virgule :

2 + 2 = 4

On compte de droite à gauche quatre chiffres du résultat. Le résultat final contient moins de nombres qu’il n’est nécessaire de les séparer par une virgule. Dans ce cas, vous devez ajouter le nombre de zéros manquants à gauche.

Dans notre cas, il manque le premier chiffre, on ajoute donc 1 zéro à gauche.

Veuillez noter:

Lors de la multiplication d'une fraction décimale par 10, 100, 1 000, etc., le point décimal de la fraction décimale est déplacé vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros après celui-ci.

Par exemple:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Veuillez noter:

Multiplier un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; et ainsi de suite, vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la gauche d'autant de places qu'il y a de zéros avant celui.

On compte zéro entier !

Par exemple:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

Dans ce tutoriel, nous examinerons chacune de ces opérations séparément.

Contenu de la leçon

Ajouter des décimales

Comme nous le savons, une fraction décimale comporte une partie entière et une partie fractionnaire. Lors de l'ajout de décimales, les parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément.

Par exemple, additionnons les fractions décimales 3,2 et 5,3. Il est plus pratique d’ajouter des fractions décimales dans une colonne.

Écrivons d'abord ces deux fractions dans une colonne, les parties entières étant nécessairement sous les entiers, et les fractions sous les fractions. À l'école, cette exigence s'appelle "virgule sous virgule".

Écrivons les fractions dans une colonne pour que la virgule soit sous la virgule :

Nous commençons à additionner les parties fractionnaires : 2 + 3 = 5. Nous écrivons les cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous additionnons les parties entières : 3 + 5 = 8. Nous écrivons un huit dans toute la partie de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle "virgule sous virgule":

Nous avons reçu une réponse de 8,5. Donc l'expression 3,2 + 5,3 est égale à 8,5

En fait, tout n’est pas aussi simple qu’il y paraît à première vue. Il y a aussi des pièges ici, dont nous parlerons maintenant.

Places en décimales

Les fractions décimales, comme les nombres ordinaires, ont leurs propres chiffres. Ce sont des places de dixièmes, des places de centièmes, des places de millièmes. Dans ce cas, les chiffres commencent après la virgule.

Le premier chiffre après la virgule est responsable de la position des dixièmes, le deuxième chiffre après la virgule est responsable de la position des centièmes et le troisième chiffre après la virgule est responsable de la position des millièmes.

Les places dans les fractions décimales contiennent informations utiles. Plus précisément, ils vous indiquent combien de dixièmes, centièmes et millièmes il y a dans une décimale.

Par exemple, considérons la fraction décimale 0,345

La position où se trouvent les trois est appelée dixième place

La position où se trouve le quatre est appelée place des centièmes

La position où se trouve le cinq s'appelle millième place

Regardons ce dessin. On voit qu'il y a un trois à la dixième place. Cela nous indique qu'il y a trois dixièmes dans la fraction décimale 0,345.

Si nous additionnons les fractions, nous obtenons la fraction décimale originale 0,345

On peut voir qu'au début, nous avons reçu la réponse, mais nous l'avons convertie en fraction décimale et avons obtenu 0,345.

Lors de l'ajout de fractions décimales, les mêmes principes et règles sont suivis que lors de l'ajout de nombres ordinaires. L'addition des fractions décimales s'effectue en chiffres : les dixièmes s'ajoutent aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Par conséquent, lors de l'ajout de fractions décimales, vous devez suivre la règle "virgule sous virgule". La virgule sous la virgule indique l'ordre même dans lequel les dixièmes sont ajoutés aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 1,5 + 3,4

Tout d'abord, on additionne les parties fractionnaires 5 + 4 = 9. Nous écrivons neuf dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 1 + 3 = 4. Nous écrivons les quatre dans la partie entière de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle de la « virgule sous virgule » :

Nous avons reçu une réponse de 4,9. Cela signifie que la valeur de l'expression 1,5 + 3,4 est 4,9

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression : 3,51 + 1,22

Nous écrivons cette expression dans une colonne en respectant la règle de la « virgule sous virgule ».

Tout d’abord, on additionne la partie fractionnaire, à savoir les centièmes de 1+2=3. Nous écrivons un triplet dans la centième partie de notre réponse :

Ajoutez maintenant les dixièmes 5+2=7. Nous écrivons un sept dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 3+1=4. Nous écrivons les quatre dans toute la partie de notre réponse :

On utilise une virgule pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en respectant la règle de la « virgule sous virgule » :

La réponse que nous avons reçue était 4,73. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,51 + 1,22 est égale à 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Comme pour les nombres normaux, lors de l'ajout de décimales, . Dans ce cas, un chiffre est écrit dans la réponse et le reste est transféré au chiffre suivant.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 2,65 + 3,27

On écrit cette expression dans la colonne :

Additionnez les centièmes 5+7=12. Le nombre 12 ne rentrera pas dans la centième partie de notre réponse. Par conséquent, dans la centième partie, nous écrivons le nombre 2 et déplaçons l'unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous additionnons les dixièmes de 6 + 2 = 8 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 9. Nous écrivons le nombre 9 dans le dixième de notre réponse :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 2+3=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la partie entière de notre réponse :

La réponse que nous avons reçue était 5,92. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,65 + 3,27 est égale à 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 9,5 + 2,8

Nous écrivons cette expression dans la colonne

Nous additionnons les parties fractionnaires 5 + 8 = 13. Le nombre 13 ne rentrera pas dans la partie fractionnaire de notre réponse, nous écrivons donc d'abord le nombre 3 et déplaçons l'unité au chiffre suivant, ou plutôt, la transférons au partie entière :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 9+2=11 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 12. Nous écrivons le nombre 12 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu la réponse 12.3. Cela signifie que la valeur de l'expression 9,5 + 2,8 est 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Lors de l'ajout de décimales, le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions doit être le même. S'il n'y a pas assez de nombres, ces emplacements dans la partie fractionnaire sont remplis de zéros.

Exemple 5. Trouvez la valeur de l'expression : 12,725 + 1,7

Avant d’écrire cette expression dans une colonne, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions soit identique. La fraction décimale 12,725 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 1,7 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 1,7, vous devez ajouter deux zéros à la fin. On obtient alors la fraction 1,700. Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et commencer à calculer :

Additionnez les millièmes 5+0=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la millième partie de notre réponse :

Additionnez les centièmes 2+0=2. Nous écrivons le chiffre 2 dans la centième partie de notre réponse :

Additionnez les dixièmes 7+7=14. Le nombre 14 ne rentrera pas dans un dixième de notre réponse. Par conséquent, nous écrivons d’abord le nombre 4 et déplaçons l’unité au chiffre suivant :

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 12+1=13 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 14. Nous écrivons le nombre 14 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 14 425 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 12,725+1,700 est 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Soustraire des décimales

Lors de la soustraction de fractions décimales, vous devez suivre les mêmes règles que lors de l'ajout : « virgule sous la virgule décimale » et « un nombre égal de chiffres après la virgule décimale ».

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 − 2,2

On écrit cette expression dans une colonne, en respectant la règle de la « virgule sous virgule » :

On calcule la partie fractionnaire 5−2=3. Nous écrivons le chiffre 3 dans la dixième partie de notre réponse :

On calcule la partie entière 2−2=0. Nous écrivons zéro dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,3. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,5 − 2,2 est égale à 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 7,353 - 3,1

Cette expression comporte un nombre différent de décimales. La fraction 7,353 a trois chiffres après la virgule, mais la fraction 3,1 n'en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 3.1, vous devez ajouter deux zéros à la fin pour que le nombre de chiffres dans les deux fractions soit le même. Ensuite, nous obtenons 3 100.

Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et la calculer :

Nous avons reçu une réponse de 4 253 personnes. Cela signifie que la valeur de l'expression 7,353 − 3,1 est égale à 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Comme pour les nombres ordinaires, vous devrez parfois en emprunter un à un chiffre adjacent si la soustraction devient impossible.

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 3,46 − 2,39

Soustrayez les centièmes de 6−9. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 9 du nombre 6. Par conséquent, vous devez en emprunter un au chiffre adjacent. En empruntant un au chiffre adjacent, le nombre 6 se transforme en nombre 16. Vous pouvez maintenant calculer les centièmes de 16−9=7. Nous écrivons un sept dans la centième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes. Puisque nous avons pris une unité à la dixième place, le chiffre qui s'y trouvait a diminué d'une unité. Autrement dit, à la dixième place se trouve désormais non plus le nombre 4, mais le nombre 3. Calculons les dixièmes de 3−3=0. Nous écrivons zéro dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons les parties entières 3−2=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 1,07. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,46−2,39 est égale à 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 3−1.2

Cet exemple soustrait une décimale d’un nombre entier. Écrivons cette expression dans une colonne pour que toute la partie de la fraction décimale 1,23 soit sous le chiffre 3

Maintenant, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit identique. Pour ce faire, après le chiffre 3 on met une virgule et on ajoute un zéro :

Maintenant, nous soustrayons les dixièmes : 0−2. Vous ne pouvez pas soustraire le nombre 2 de zéro. Vous devez donc en emprunter un au chiffre adjacent. Après avoir emprunté un au chiffre voisin, 0 se transforme en nombre 10. Vous pouvez maintenant calculer les dixièmes de 10−2=8. Nous écrivons un huit dans la dixième partie de notre réponse :

Maintenant, nous soustrayons toutes les parties. Auparavant, le numéro 3 était situé dans l'ensemble, mais nous en avons retiré une unité. En conséquence, il est devenu le nombre 2. Par conséquent, de 2 nous soustrayons 1. 2−1=1. Nous en écrivons un dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

La réponse que nous avons reçue était 1,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 3−1,2 est 1,8

Multiplier des décimales

Multiplier des décimales est simple et même amusant. Pour multiplier des nombres décimaux, vous les multipliez comme des nombres réguliers, en ignorant les virgules.

Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Exemple 1. Trouver la valeur de l'expression 2,5 × 1,5

Multiplions ces fractions décimales comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules. Pour ignorer les virgules, on peut temporairement imaginer qu'elles sont totalement absentes :

Nous en avons obtenu 375. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 2,5 et 1,5. La première fraction a un chiffre après la virgule et la deuxième fraction en a également un. Total deux nombres.

Nous revenons au numéro 375 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 3,75. La valeur de l'expression 2,5 × 1,5 est donc 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 12,85 × 2,7

Multiplions ces fractions décimales en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 34695. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 12,85 et 2,7. La fraction 12,85 a deux chiffres après la virgule et la fraction 2,7 a un chiffre, soit un total de trois chiffres.

Nous revenons au numéro 34695 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter trois chiffres en partant de la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 34 695 personnes. La valeur de l'expression 12,85 × 2,7 est donc 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Multiplier un nombre décimal par un nombre régulier

Parfois, des situations surviennent lorsque vous devez multiplier une fraction décimale par un nombre régulier.

Pour multiplier une décimale et un nombre, on les multiplie sans faire attention à la virgule dans la décimale. Après avoir reçu la réponse, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction décimale, puis compter le même nombre de chiffres en partant de la droite dans la réponse et mettre une virgule.

Par exemple, multipliez 2,54 par 2

Multipliez la fraction décimale 2,54 par le nombre habituel 2, en ignorant la virgule :

Nous avons obtenu le nombre 508. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,54. La fraction 2,54 comporte deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au numéro 508 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 5,08. Donc la valeur de l'expression 2,54 × 2 est 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Multiplier des décimales par 10, 100, 1000

La multiplication de nombres décimaux par 10, 100 ou 1 000 s'effectue de la même manière que la multiplication de nombres décimaux par des nombres réguliers. Vous devez effectuer la multiplication sans faire attention à la virgule dans la fraction décimale, puis dans la réponse, séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant à droite le même nombre de chiffres qu'il y avait de chiffres après la virgule décimale.

Par exemple, multipliez 2,88 par 10

Multipliez la fraction décimale 2,88 par 10, en ignorant la virgule dans la fraction décimale :

Nous avons obtenu 2880. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction 2,88. On voit que la fraction 2,88 a deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au nombre 2880 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Il faut compter deux chiffres vers la droite et mettre une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 28h80. Laissons tomber le dernier zéro et obtenons 28,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 2,88×10 est 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Il existe une deuxième façon de multiplier des fractions décimales par 10, 100, 1 000. Cette méthode est beaucoup plus simple et plus pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 2,88×10 de cette façon. Sans faire aucun calcul, nous regardons immédiatement le facteur 10. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, nous obtenons 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Essayons de multiplier 2,88 par 100. Nous regardons immédiatement le facteur 100. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de deux chiffres, nous obtenons 288

2,88 × 100 = 288

Essayons de multiplier 2,88 par 1000. Nous regardons immédiatement le facteur 1000. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite de trois chiffres. Il n’y a pas de troisième chiffre, nous ajoutons donc un autre zéro. En conséquence, nous obtenons 2880.

2,88 × 1 000 = 2 880

Multiplier des décimales par 0,1 0,01 et 0,001

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001 fonctionne de la même manière que multiplier une décimale par une décimale. Il faut multiplier les fractions comme des nombres ordinaires, et mettre une virgule dans la réponse, en comptant autant de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule dans les deux fractions.

Par exemple, multipliez 3,25 par 0,1

On multiplie ces fractions comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 325. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les fractions 3,25 et 0,1. La fraction 3,25 a deux chiffres après la virgule et la fraction 0,1 a un chiffre. Total trois nombres.

Nous revenons au nombre 325 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter trois chiffres en partant de la droite et mettre une virgule. Après avoir compté trois chiffres, nous constatons que les chiffres sont épuisés. Dans ce cas, vous devez ajouter un zéro et ajouter une virgule :

Nous avons reçu une réponse de 0,325. Cela signifie que la valeur de l'expression 3,25 × 0,1 est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Il existe une deuxième façon de multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001. Cette méthode est beaucoup plus simple et pratique. Elle consiste à déplacer la virgule vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 3,25 × 0,1 de cette façon. Sans donner de calculs, regardons immédiatement le multiplicateur de 0,1. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a un zéro dedans. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale d’un chiffre vers la gauche. En déplaçant la virgule d’un chiffre vers la gauche, on voit qu’il n’y a plus de chiffres avant les trois. Dans ce cas, ajoutez un zéro et mettez une virgule. Le résultat est 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,01. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,01. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de deux chiffres, nous obtenons 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,001. On regarde immédiatement le multiplicateur de 0,001. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. Nous voyons qu'il y a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule décimale vers la gauche de trois chiffres, nous obtenons 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ne confondez pas la multiplication de fractions décimales par 0,1, 0,001 et 0,001 avec la multiplication par 10, 100, 1000. Erreur courante la plupart des gens.

Lors de la multiplication par 10, 100, 1000, la virgule décimale est déplacée vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Et lors de la multiplication par 0,1, 0,01 et 0,001, la virgule décimale est déplacée vers la gauche du même nombre de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Si au début cela est difficile à retenir, vous pouvez utiliser la première méthode, dans laquelle la multiplication est effectuée comme avec des nombres ordinaires. Dans la réponse, vous devrez séparer la partie entière de la partie fractionnaire en comptant le même nombre de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule décimale dans les deux fractions.

Diviser un petit nombre par un plus grand nombre. Niveau avancé.

Dans l'une des leçons précédentes, nous avons dit qu'en divisant un nombre plus petit par un nombre plus grand, on obtient une fraction dont le numérateur est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Par exemple, pour partager une pomme entre deux personnes, vous devez écrire 1 (une pomme) au numérateur et 2 (deux amis) au dénominateur. En conséquence, nous obtenons la fraction . Cela signifie que chaque ami recevra une pomme. Autrement dit, une demi-pomme. La fraction est la réponse au problème "comment diviser une pomme en deux"

Il s'avère que vous pouvez résoudre ce problème davantage si vous divisez 1 par 2. Après tout, la ligne fractionnaire dans n'importe quelle fraction signifie une division, et donc cette division est autorisée dans la fraction. Mais comment ? Nous sommes habitués au fait que le dividende est toujours supérieur au diviseur. Mais ici, au contraire, le dividende est inférieur au diviseur.

Tout deviendra clair si l'on se souvient qu'une fraction signifie écrasement, division, division. Cela signifie que l'unité peut être divisée en autant de parties que vous le souhaitez, et pas seulement en deux parties.

Lorsque vous divisez un nombre plus petit par un nombre plus grand, vous obtenez une fraction décimale dont la partie entière est 0 (zéro). La partie fractionnaire peut être n'importe quoi.

Alors divisons 1 par 2. Résolvons cet exemple avec un coin :

Un ne peut pas être complètement divisé en deux. Si tu poses une question "combien y a-t-il de deux en un" , alors la réponse sera 0. Par conséquent, dans le quotient, nous écrivons 0 et mettons une virgule :

Maintenant, comme d'habitude, on multiplie le quotient par le diviseur pour obtenir le reste :

Le moment est venu où l’ensemble peut être divisé en deux parties. Pour ce faire, ajoutez un autre zéro à droite de celui obtenu :

Nous avons 10. Divisons 10 par 2, nous obtenons 5. Nous écrivons le cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous retirons le dernier reste pour terminer le calcul. Multipliez 5 par 2 pour obtenir 10

Nous avons reçu une réponse de 0,5. La fraction est donc 0,5

Une demi-pomme peut également s’écrire en utilisant la fraction décimale 0,5. Si nous ajoutons ces deux moitiés (0,5 et 0,5), nous obtenons à nouveau la pomme entière originale :

Ce point peut également être compris si l’on imagine comment 1 cm est divisé en deux parties. Si vous divisez 1 centimètre en 2 parties, vous obtenez 0,5 cm

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression 4:5

Combien y a-t-il de cinq dans un quatre ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit un zéro sous les quatre. Soustrayez immédiatement ce zéro du dividende :

Commençons maintenant à diviser (diviser) les quatre en 5 parties. Pour ce faire, ajoutez un zéro à droite de 4 et divisez 40 par 5, on obtient 8. On écrit huit dans le quotient.

On complète l'exemple en multipliant 8 par 5 pour obtenir 40 :

Nous avons reçu une réponse de 0,8. Cela signifie que la valeur de l'expression 4:5 est de 0,8

Exemple 3. Trouver la valeur de l'expression 5 : 125

Combien de nombres font 125 sur cinq ? Pas du tout. On écrit 0 dans le quotient et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit 0 sous les cinq. Soustrayez immédiatement 0 de cinq

Commençons maintenant à diviser (diviser) les cinq en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un zéro à droite de ce cinq :

Divisez 50 par 125. Combien y a-t-il de nombres 125 dans le nombre 50 ? Pas du tout. Donc dans le quotient on écrit encore 0

Multipliez 0 par 125, nous obtenons 0. Écrivez ce zéro sous 50. Soustrayez immédiatement 0 de 50

Divisez maintenant le nombre 50 en 125 parties. Pour ce faire, on écrit un autre zéro à droite de 50 :

Divisez 500 par 125. Combien de nombres font 125 dans le nombre 500. Il y a quatre nombres 125 dans le nombre 500. Écrivez les quatre dans le quotient :

On complète l'exemple en multipliant 4 par 125 pour obtenir 500

Nous avons reçu une réponse de 0,04. Cela signifie que la valeur de l'expression 5 : 125 est 0,04

Diviser des nombres sans reste

Alors, mettons une virgule après l'unité dans le quotient, indiquant ainsi que la division des parties entières est terminée et que l'on passe à la partie fractionnaire :

Ajoutons zéro au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient :

40−40=0. Il nous en reste 0. Cela signifie que la division est complètement terminée. En divisant 9 par 5, on obtient la fraction décimale 1,8 :

9: 5 = 1,8

Exemple 2. Divisez 84 par 5 sans reste

Tout d’abord, divisez 84 par 5 comme d’habitude avec un reste :

Nous en avons eu 16 en privé et il en reste 4 autres. Divisons maintenant ce reste par 5. Mettez une virgule dans le quotient et ajoutez 0 au reste 4

Divisons maintenant 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons le huit dans le quotient après la virgule décimale :

et complétez l'exemple en vérifiant s'il reste encore un reste :

Diviser un nombre décimal par un nombre régulier

Une fraction décimale, comme nous le savons, se compose d’un nombre entier et d’une partie fractionnaire. Lorsque vous divisez une fraction décimale par un nombre régulier, vous devez d'abord :

divisez toute la partie de la fraction décimale par ce nombre ;
une fois la partie entière divisée, vous devez immédiatement mettre une virgule dans le quotient et continuer le calcul, comme dans une division normale.

Par exemple, divisez 4,8 par 2

Écrivons cet exemple dans un coin :

Maintenant, divisons la partie entière par 2. Quatre divisé par deux est égal à deux. On en écrit deux dans le quotient et on met immédiatement une virgule :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur et voyons s'il y a un reste de la division :

4−4=0. Le reste est nul. On n’écrit pas encore zéro, puisque la solution n’est pas terminée. Ensuite, nous continuons à calculer comme dans une division ordinaire. Retirez 8 et divisez-le par 2

8 : 2 = 4. On écrit le quatre dans le quotient et on le multiplie immédiatement par le diviseur :

Nous avons reçu une réponse de 2,4. La valeur de l'expression 4,8:2 est 2,4

Exemple 2. Trouver la valeur de l'expression 8,43 : 3

Divisez 8 par 3, nous obtenons 2. Mettez immédiatement une virgule après le 2 :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur 2 × 3 = 6. Nous écrivons le six sous le huit et trouvons le reste :

Divisez 24 par 3, nous obtenons 8. Nous écrivons huit dans le quotient. Multipliez-le immédiatement par le diviseur pour trouver le reste de la division :

24−24=0. Le reste est nul. Nous n’écrivons pas encore zéro. On soustrait les trois derniers du dividende et on divise par 3, on obtient 1. Multipliez immédiatement 1 par 3 pour compléter cet exemple :

La réponse que nous avons reçue était 2,81. Cela signifie que la valeur de l'expression 8,43 : 3 est 2,81

Diviser une décimale par une décimale

Pour diviser une fraction décimale par une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule décimale du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule décimale du diviseur, puis diviser par le nombre habituel.

Par exemple, divisez 5,95 par 1,7

Écrivons cette expression avec un coin

Maintenant, dans le dividende et dans le diviseur, nous déplaçons la virgule vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que dans le dividende et le diviseur, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite d'un chiffre. Nous transférons :

Après avoir déplacé la virgule vers la droite d’un chiffre, la fraction décimale 5,95 est devenue la fraction 59,5. Et la fraction décimale 1,7, après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, s'est transformée en le nombre habituel 17. Et nous savons déjà comment diviser une fraction décimale par un nombre régulier. Un calcul ultérieur n'est pas difficile :

La virgule est déplacée vers la droite pour faciliter la division. Ceci est autorisé car lors de la multiplication ou de la division du dividende et du diviseur par le même nombre, le quotient ne change pas. Qu'est-ce que ça veut dire?

C'est l'un des fonctionnalités intéressantes division. C'est ce qu'on appelle la propriété du quotient. Considérons l'expression 9 : 3 = 3. Si dans cette expression le dividende et le diviseur sont multipliés ou divisés par le même nombre, alors le quotient 3 ne changera pas.

Multiplions le dividende et le diviseur par 2 et voyons ce qui en résulte :

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Comme le montre l’exemple, le quotient n’a pas changé.

La même chose se produit lorsque l’on déplace la virgule dans le dividende et dans le diviseur. Dans l’exemple précédent, où nous avons divisé 5,91 par 1,7, nous avons déplacé la virgule du dividende et du diviseur d’un chiffre vers la droite. Après avoir déplacé la virgule décimale, la fraction 5,91 a été transformée en fraction 59,1 et la fraction 1,7 a été transformée en le nombre habituel 17.

En fait, à l’intérieur de ce processus, il y a eu une multiplication par 10. Voici à quoi cela ressemblait :

5,91 × 10 = 59,1

Par conséquent, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur détermine par quoi le dividende et le diviseur seront multipliés. En d’autres termes, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur déterminera le nombre de chiffres dans le dividende et dans le diviseur, la virgule décimale sera déplacée vers la droite.

Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000

Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000 se fait de la même manière que . Par exemple, divisez 2,1 par 10. Résolvez cet exemple en utilisant un coin :

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 2.1 : 10. Nous regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 2,1, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la gauche. Nous déplaçons la virgule d’un chiffre vers la gauche et voyons qu’il ne reste plus de chiffres. Dans ce cas, ajoutez un autre zéro avant le nombre. En conséquence, nous obtenons 0,21

Essayons de diviser 2,1 par 100. Il y a deux zéros dans 100. Cela signifie que dans le dividende 2.1, nous devons déplacer la virgule de deux chiffres vers la gauche :

2,1: 100 = 0,021

Essayons de diviser 2,1 par 1000. Il y a trois zéros dans 1000. Cela signifie que dans le dividende 2.1, vous devez déplacer la virgule de trois chiffres vers la gauche :

2,1: 1000 = 0,0021

Diviser une décimale par 0,1, 0,01 et 0,001

Diviser une fraction décimale par 0,1, 0,01 et 0,001 se fait de la même manière que . Dans le dividende et dans le diviseur, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur.

Par exemple, divisons 6,3 par 0,1. Tout d’abord, déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu’il y a après la virgule décimale du diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Cela signifie que nous déplaçons les virgules du dividende et du diviseur vers la droite d’un chiffre.

Après avoir déplacé la virgule décimale d'un chiffre vers la droite, la fraction décimale 6,3 devient le nombre habituel 63, et la fraction décimale 0,1 après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre se transforme en un. Et diviser 63 par 1 est très simple :

Cela signifie que la valeur de l'expression 6,3 : 0,1 est 63

Mais il existe une deuxième façon. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule du dividende est déplacée vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette façon. 6,3 : 0,1. Regardons le diviseur. Nous nous intéressons au nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Cela signifie que dans le dividende de 6,3, vous devez déplacer la virgule décimale d'un chiffre vers la droite. Déplacez la virgule vers la droite d'un chiffre et obtenez 63

Essayons de diviser 6,3 par 0,01. Le diviseur de 0,01 comporte deux zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de deux chiffres. Mais dans le dividende, il n’y a qu’un seul chiffre après la virgule. Dans ce cas, vous devez ajouter un autre zéro à la fin. En conséquence, nous obtenons 630

Essayons de diviser 6,3 par 0,001. Le diviseur de 0,001 comporte trois zéros. Cela signifie que dans le dividende 6,3, nous devons déplacer la virgule décimale vers la droite de trois chiffres :

6,3: 0,001 = 6300

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Pour comprendre comment multiplier des nombres décimaux, regardons des exemples spécifiques.

Règle pour multiplier les décimales

1) Multipliez sans faire attention à la virgule.

2) En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a après la virgule dans les deux facteurs réunis.

Exemples.

Trouvez le produit de fractions décimales :

Pour multiplier des fractions décimales, on multiplie sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous ne multiplions pas 6,8 et 3,4, mais 68 et 34. En conséquence, nous séparons autant de chiffres après la virgule décimale qu'il y en a après la virgule dans les deux facteurs réunis. Dans le premier facteur, il y a un chiffre après la virgule, dans le second il y en a aussi un. Au total, nous séparons deux nombres après la virgule décimale. Ainsi, nous obtenons la réponse finale : 6,8∙3,4=23,12.

On multiplie les décimales sans tenir compte du point décimal. Autrement dit, au lieu de multiplier 36,85 par 1,14, nous multiplions 3685 par 14. Nous obtenons 51590. Maintenant, dans ce résultat, nous devons séparer autant de chiffres par une virgule qu'il y en a dans les deux facteurs réunis. Le premier nombre comporte deux chiffres après la virgule, le second en comporte un. Au total, on sépare trois chiffres par une virgule. Puisqu'il y a un zéro après la virgule à la fin de l'entrée, nous ne l'écrivons pas dans la réponse : 36,85∙1,4=51,59.

Pour multiplier ces décimales, multiplions les nombres sans faire attention aux virgules. Autrement dit, nous multiplions les nombres naturels 2315 et 7. Nous obtenons 16205. Dans ce nombre, vous devez séparer quatre chiffres après la virgule décimale - autant qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble (deux dans chacun). Réponse finale : 23,15∙0,07=1,6205.

Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel se fait de la même manière. Nous multiplions les nombres sans prêter attention au point décimal, c'est-à-dire que nous multiplions 75 par 16. Le résultat obtenu doit contenir le même nombre de signes après le point décimal que dans les deux facteurs réunis - un. Ainsi, 75∙1,6=120,0=120.

Nous commençons à multiplier des fractions décimales en multipliant des nombres naturels, puisque nous ne faisons pas attention aux virgules. Après cela, nous séparons autant de chiffres après la virgule qu’il y a dans les deux facteurs ensemble. Le premier nombre a deux décimales, le second en a également deux. Au total, le résultat doit être quatre chiffres après la virgule : 4,72∙5,04=23,7888.

Dans cet article, nous examinerons l’action de multiplier des nombres décimaux. Commençons par énoncer les principes généraux, puis montrons comment multiplier une fraction décimale par une autre et considérons la méthode de multiplication par colonne. Toutes les définitions seront illustrées par des exemples. Nous verrons ensuite comment multiplier correctement des fractions décimales par des nombres ordinaires, ainsi que des nombres mixtes et naturels (dont 100, 10, etc.)

Dans ce document, nous n'aborderons que les règles de multiplication des fractions positives. Les cas avec des nombres négatifs sont traités séparément dans les articles sur la multiplication des nombres rationnels et réels.

Formulons les principes généraux qui doivent être suivis lors de la résolution de problèmes impliquant la multiplication de fractions décimales.

Rappelons-nous, pour commencer, que les fractions décimales ne sont rien de plus qu'une forme particulière d'écriture des fractions ordinaires ; par conséquent, le processus de multiplication peut être réduit à un processus similaire pour les fractions ordinaires ; Cette règle fonctionne aussi bien pour les fractions finies que pour les fractions infinies : après les avoir converties en fractions ordinaires, il est facile de multiplier avec elles selon les règles que nous avons déjà apprises.

Voyons comment ces problèmes sont résolus.

Exemple 1

Calculez le produit de 1,5 et 0,75.

Solution : Tout d’abord, remplaçons les fractions décimales par des fractions ordinaires. Nous savons que 0,75 équivaut à 75/100 et 1,5 équivaut à 15/10. Nous pouvons réduire la fraction et sélectionner la partie entière. Nous écrirons le résultat résultant 125 1000 sous la forme 1, 125.

Répondre: 1 , 125 .

On peut utiliser la méthode du comptage de colonnes, tout comme pour les nombres naturels.

Exemple 2

Multipliez une fraction périodique 0, (3) par un autre 2, (36).

Tout d’abord, réduisons les fractions originales aux fractions ordinaires. Nous obtiendrons :

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Par conséquent, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

La fraction ordinaire résultante peut être convertie sous forme décimale en divisant le numérateur par le dénominateur dans une colonne :

Répondre: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Si nous avons des fractions infinies non périodiques dans l'énoncé du problème, nous devons alors effectuer leur arrondi préliminaire (voir l'article sur l'arrondi des nombres si vous avez oublié comment procéder). Après cela, vous pouvez effectuer l'action de multiplication avec des fractions décimales déjà arrondies. Donnons un exemple.

Exemple 3

Calculez le produit de 5, 382... et 0, 2.

Solution

Dans notre problème nous avons une fraction infinie qu’il faut d’abord arrondir au centième. Il s'avère que 5,382... ≈ 5,38. Cela n’a aucun sens d’arrondir le deuxième facteur au centième. Vous pouvez maintenant calculer le produit requis et écrire la réponse : 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

Répondre: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

La méthode de comptage de colonnes peut être utilisée non seulement pour les nombres naturels. Si nous avons des nombres décimaux, nous pouvons les multiplier exactement de la même manière. Dérivons la règle :

Définition 1

La multiplication de fractions décimales par colonne s'effectue en 2 étapes :

1. Effectuez une multiplication de colonnes sans faire attention aux virgules.

2. Placez un point décimal dans le nombre final, en le séparant par autant de chiffres sur le côté droit que les deux facteurs contiennent ensemble des décimales. Si le résultat ne contient pas suffisamment de chiffres, ajoutez des zéros à gauche.

Regardons des exemples de tels calculs dans la pratique.

Exemple 4

Multipliez les décimales 63, 37 et 0, 12 par des colonnes.

Solution

Tout d’abord, multiplions les nombres en ignorant les points décimaux.

Maintenant, nous devons mettre la virgule au bon endroit. Cela séparera les quatre chiffres du côté droit car la somme des décimales des deux facteurs est 4. Il n'est pas nécessaire d'ajouter des zéros, car assez de signes :

Répondre: 3,37 0,12 = 7,6044.

Exemple 5

Calculez combien 3,2601 fois 0,0254 font.

Solution

On compte sans virgules. On obtient le numéro suivant :

Nous mettrons une virgule séparant 8 chiffres sur le côté droit, car les fractions originales ont ensemble 8 décimales. Mais notre résultat n'a que sept chiffres, et nous ne pouvons pas nous passer de zéros supplémentaires :

Répondre: 3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Comment multiplier un nombre décimal par 0,001, 0,01, 01, etc.

Multiplier des décimales par de tels nombres est courant, il est donc important de pouvoir le faire rapidement et avec précision. Écrivons une règle spéciale que nous utiliserons pour cette multiplication :

Définition 2

Si l’on multiplie une décimale par 0, 1, 0, 01, etc., on obtient un nombre similaire à la fraction originale, avec la virgule décimale déplacée vers la gauche du nombre de places requis. S'il n'y a pas assez de chiffres à transférer, vous devez ajouter des zéros à gauche.

Ainsi, pour multiplier 45, 34 par 0, 1, vous devez déplacer d'une place la virgule décimale de la fraction décimale d'origine. Nous nous retrouverons avec 4 534.

Exemple 6

Multipliez 9,4 par 0,0001.

Solution

Nous devrons déplacer la virgule décimale de quatre places en fonction du nombre de zéros dans le deuxième facteur, mais les nombres dans le premier facteur ne suffisent pas pour cela. Nous attribuons les zéros nécessaires et constatons que 9,4 · 0,0001 = 0,00094.

Répondre: 0 , 00094 .

Pour les décimales infinies, nous utilisons la même règle. Ainsi, par exemple, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ou 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... etc.

Le processus d’une telle multiplication n’est pas différent de l’action consistant à multiplier deux fractions décimales. Il est pratique d'utiliser la méthode de multiplication de colonnes si l'énoncé du problème contient une fraction décimale finale. Dans ce cas, il faut prendre en compte toutes les règles dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent.

Exemple 7

Calculez combien 15 · 2,27 fait.

Solution

Multiplions les nombres d'origine par une colonne et séparons deux virgules.

Répondre: 15 · 2,27 = 34,05.

Si nous multiplions une fraction décimale périodique par un nombre naturel, nous devons d’abord changer la fraction décimale en une fraction ordinaire.

Exemple 8

Calculez le produit de 0 , (42) et 22 .

Réduisons la fraction périodique à la forme ordinaire.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Nous pouvons écrire le résultat final sous la forme d’une fraction décimale périodique sous la forme 9, (3).

Répondre: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Les fractions infinies doivent d'abord être arrondies avant les calculs.

Exemple 9

Calculez combien 4 · 2, 145... fera.

Solution

Arrondons la fraction décimale infinie originale aux centièmes. Après cela, nous arrivons à multiplier un nombre naturel et une fraction décimale finale :

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

Répondre: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Comment multiplier un nombre décimal par 1000, 100, 10, etc.

Multiplier une fraction décimale par 10, 100, etc. est souvent rencontré dans des problèmes, nous analyserons donc ce cas séparément. La règle de base de la multiplication est la suivante :

Définition 3

Pour multiplier une fraction décimale par 1000, 100, 10, etc., vous devez déplacer sa virgule décimale à 3, 2, 1 chiffres en fonction du multiplicateur et supprimer les zéros supplémentaires à gauche. S'il n'y a pas assez de nombres pour déplacer la virgule, nous ajoutons autant de zéros vers la droite que nécessaire.

Montrons avec un exemple exactement comment procéder.

Exemple 10

Multipliez 100 et 0,0783.

Solution

Pour ce faire, nous devons déplacer la virgule décimale de 2 chiffres vers la droite. Nous nous retrouverons avec 007, 83. Les zéros de gauche peuvent être supprimés et le résultat écrit 7, 38.

Répondre: 0,0783 100 = 7,83.

Exemple 11

Multipliez 0,02 par 10 mille.

Solution : Nous allons déplacer la virgule de quatre chiffres vers la droite. Nous n’avons pas assez de signes pour cela dans la fraction décimale originale, nous devrons donc ajouter des zéros. Dans ce cas, trois 0 suffiront. Le résultat est 0, 02000, déplacez la virgule et obtenez 00200, 0. En ignorant les zéros à gauche, nous pouvons écrire la réponse sous la forme 200.

Répondre: 0,02 · 10 000 = 200.

La règle que nous avons donnée fonctionnera de la même manière dans le cas de fractions décimales infinies, mais ici, vous devez faire très attention à la période de la fraction finale, car il est facile de s'y tromper.

Exemple 12

Calculez le produit de 5,32 (672) fois 1 000.

Solution : tout d'abord, nous écrirons la fraction périodique sous la forme 5, 32672672672..., donc la probabilité de se tromper sera moindre. Après cela, nous pouvons déplacer la virgule jusqu'au nombre de caractères requis (trois). Le résultat sera 5326, 726726... Mettons le point entre parenthèses et écrivons la réponse sous la forme 5 326, (726).

Répondre: 5, 32 (672) · 1 000 = 5 326, (726) .

Si les conditions du problème contiennent des fractions infinies non périodiques qui doivent être multipliées par dix, cent, mille, etc., n'oubliez pas de les arrondir avant de multiplier.

Pour effectuer une multiplication de ce type, vous devez représenter la fraction décimale comme une fraction ordinaire, puis procéder selon les règles déjà familières.

Exemple 13

Multipliez 0, 4 par 3 5 6

Solution

Commençons par convertir la fraction décimale en fraction ordinaire. On a : 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Nous avons reçu la réponse sous la forme d'un nombre mixte. Vous pouvez l'écrire sous forme de fraction périodique 1, 5 (3).

Répondre: 1 , 5 (3) .

Si une fraction infinie non périodique est impliquée dans le calcul, vous devez l'arrondir à un certain nombre puis la multiplier.

Exemple 14

Calculez le produit 3, 5678. . . · 2 3

Solution

Nous pouvons représenter le deuxième facteur comme 2 3 = 0, 6666…. Ensuite, arrondissez les deux facteurs à la millième place. Après cela, nous devrons calculer le produit de deux fractions décimales finales 3,568 et 0,667. Comptons avec une colonne et obtenons la réponse :

Le résultat final doit être arrondi au millième, puisque c'est à ce chiffre que l'on a arrondi les nombres initiaux. Il s’avère que 2,379856 ≈ 2,380.

Répondre: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2 380

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Dans la dernière leçon, nous avons appris à additionner et soustraire des nombres décimaux (voir la leçon « Ajouter et soustraire des nombres décimaux »). Dans le même temps, nous avons évalué à quel point les calculs sont simplifiés par rapport aux fractions ordinaires « à deux étages ».

Malheureusement, cet effet ne se produit pas lors de la multiplication et de la division de nombres décimaux. Dans certains cas, la notation décimale complique même ces opérations.

Tout d’abord, introduisons une nouvelle définition. Nous le verrons assez souvent, et pas seulement dans cette leçon.

La partie significative d'un nombre est tout ce qui se trouve entre le premier et le dernier chiffre non nul, y compris les extrémités. Il s'agit de concernant uniquement les chiffres, le point décimal n'est pas pris en compte.

Les chiffres inclus dans la partie significative d’un nombre sont appelés chiffres significatifs. Ils peuvent être répétés et même égaux à zéro.

Par exemple, considérons plusieurs fractions décimales et écrivez les parties significatives correspondantes :

91,25 → 9125 (chiffres significatifs : 9 ; 1 ; 2 ; 5) ;
0,008241 → 8241 (chiffres significatifs : 8 ; 2 ; 4 ; 1) ;
15,0075 → 150075 (chiffres significatifs : 1 ; 5 ; 0 ; 0 ; 7 ; 5) ;
0,0304 → 304 (chiffres significatifs : 3 ; 0 ; 4) ;
3000 → 3 (il n'y a qu'un seul chiffre significatif : 3).

Attention : les zéros à l’intérieur de la partie significative du nombre ne vont nulle part. Nous avons déjà rencontré quelque chose de similaire lorsque nous avons appris à convertir des fractions décimales en fractions ordinaires (voir leçon « Décimales »).

Ce point est si important, et des erreurs sont commises ici si souvent, que je publierai prochainement un test sur ce sujet. Assurez-vous de pratiquer! Et nous, armés du concept de partie significative, passerons en fait au sujet de la leçon.

Multiplier des décimales

L'opération de multiplication se compose de trois étapes successives :

Pour chaque fraction, notez la partie significative. Vous obtiendrez deux entiers ordinaires - sans dénominateurs ni points décimaux ;
Multipliez ces nombres de la manière qui vous convient. Directement, si les nombres sont petits, ou en colonne. On obtient la partie significative de la fraction recherchée ;
Découvrez où et de combien de chiffres la virgule décimale dans les fractions originales est décalée pour obtenir la partie significative correspondante. Effectuez des décalages inverses pour la partie significative obtenue à l'étape précédente.

Je vous rappelle encore une fois que les zéros situés à côté de la partie significative ne sont jamais pris en compte. Ignorer cette règle entraîne des erreurs.

0,28 12,5 ;

6,3 · 1,08 ;

132,5 · 0,0034 ;

0,0108 1600,5 ;

5,25 · 10 000.

Nous travaillons avec la première expression : 0,28 · 12,5.

Écrivons les parties significatives des nombres de cette expression : 28 et 125 ;
Leur produit : 28 · 125 = 3500 ;
Dans le premier facteur, le point décimal est décalé de 2 chiffres vers la droite (0,28 → 28), et dans le second, il est décalé d'un chiffre supplémentaire. Au total, vous avez besoin d'un décalage vers la gauche de trois chiffres : 3500 → 3500 = 3,5.

Regardons maintenant l'expression 6,3 · 1,08.

Notons les parties significatives : 63 et 108 ;
Leur produit : 63 · 108 = 6804 ;
Encore une fois, deux décalages vers la droite : respectivement de 2 et 1 chiffre. Total - encore une fois 3 chiffres vers la droite, donc le décalage inverse sera de 3 chiffres vers la gauche : 6804 → 6,804. Cette fois, il n’y a pas de zéros à droite.

Nous avons atteint la troisième expression : 132,5 · 0,0034.

Parties significatives : 1325 et 34 ;
Leur produit : 1325 · 34 = 45 050 ;
Dans la première fraction, la virgule décimale se déplace vers la droite d'un chiffre et dans la seconde, jusqu'à 4. Total : 5 vers la droite. On se décale de 5 vers la gauche : 45 050 → .45050 = 0,4505. Le zéro a été supprimé à la fin et ajouté au début afin de ne pas laisser de point décimal « nu ».

L'expression suivante est : 0,0108 · 1600,5.

On écrit les parties significatives : 108 et 16 005 ;
On les multiplie : 108 · 16 005 = 1 728 540 ;
On compte les nombres après la virgule : dans le premier nombre il y en a 4, dans le second il y en a 1. Le total est encore 5. On a : 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. A la fin, le zéro « supplémentaire » a été supprimé.

Enfin, la dernière expression : 5,25 10 000.

Parties significatives : 525 et 1 ;
On les multiplie : 525 · 1 = 525 ;
La première fraction est décalée de 2 chiffres vers la droite et la deuxième fraction est décalée de 4 chiffres vers la gauche (10 000 → 1,0000 = 1). Total 4 − 2 = 2 chiffres à gauche. On effectue un décalage inverse de 2 chiffres vers la droite : 525, → 52 500 (il a fallu ajouter des zéros).

Remarque dans le dernier exemple : comme la virgule décimale se déplace dans des directions différentes, le décalage total se trouve à travers la différence. C'est un point très important ! Voici un autre exemple :

Considérons les nombres 1,5 et 12 500. Nous avons : 1,5 → 15 (décalage de 1 vers la droite) ; 12 500 → 125 (décalage 2 vers la gauche). Nous « passons » 1 chiffre vers la droite, puis 2 vers la gauche. En conséquence, nous avons fait un pas de 2 − 1 = 1 chiffre vers la gauche.

Division décimale

La division est peut-être l’opération la plus difficile. Bien sûr, ici vous pouvez agir par analogie avec la multiplication : diviser les parties significatives, puis « déplacer » la virgule décimale. Mais dans ce cas, de nombreuses subtilités annulent les économies potentielles.

Examinons donc un algorithme universel, un peu plus long, mais beaucoup plus fiable :

Convertissez toutes les fractions décimales en fractions ordinaires. Avec un peu de pratique, cette étape ne vous prendra que quelques secondes ;
Divisez les fractions obtenues de la manière classique. Autrement dit, multipliez la première fraction par la seconde « inversée » (voir la leçon « Multiplier et diviser des fractions numériques »);
Si possible, présentez à nouveau le résultat sous forme de fraction décimale. Cette étape est également rapide, puisque le dénominateur est souvent déjà une puissance de dix.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Considérons la première expression. Commençons par convertir les fractions en décimales :

Faisons de même avec la deuxième expression. Le numérateur de la première fraction sera à nouveau factorisé :

Il y a un point important dans les troisième et quatrième exemples : après s'être débarrassé de la notation décimale, des fractions réductibles apparaissent. Cependant, nous ne procéderons pas à cette réduction.

Le dernier exemple est intéressant car le numérateur de la deuxième fraction contient un nombre premier. Il n’y a tout simplement rien à prendre en compte ici, alors considérons-le directement :

Parfois, la division donne un nombre entier (je parle du dernier exemple). Dans ce cas, la troisième étape n’est pas réalisée du tout.

De plus, lors de la division, des fractions «laides» apparaissent souvent qui ne peuvent pas être converties en décimales. Cela distingue la division de la multiplication, où les résultats sont toujours représentés sous forme décimale. Bien entendu, dans ce cas, la dernière étape n'est pas non plus exécutée.

Faites également attention aux 3ème et 4ème exemples. Dans ceux-ci, nous ne réduisons délibérément pas les fractions ordinaires obtenues à partir de décimales. Sinon, cela compliquera la tâche inverse - représenter à nouveau la réponse finale sous forme décimale.

N’oubliez pas : la propriété fondamentale d’une fraction (comme toute autre règle mathématique) ne signifie pas en soi qu’elle doit être appliquée partout et toujours, à chaque occasion.