Ile jest liczb czterocyfrowych? Ile jest liczb czterocyfrowych? Ile jest liczb czterocyfrowych?

W tym zadaniu musisz określić, ile jest liczb czterocyfrowych.

Liczba liczb czterocyfrowych

• Ustalmy, ile jest liczb czterocyfrowych.
• Liczba czterocyfrowa to liczba składająca się z czterech cyfr: jedności, dziesiątek, setek i tysięcy. Krótko mówiąc, liczba czterocyfrowa to liczba składająca się z dokładnie czterech cyfr.
• Pierwsza znana liczba czterocyfrowa to 1000.
• Ostatnia znana liczba czterocyfrowa to 9999.
• Znajdź liczbę liczb czterocyfrowych. Istnieją dwie możliwości: pierwsze 999 liczb naturalnych jest odejmowanych od ostatniej czterocyfrowej liczby (9999). Otrzymujemy: 9999 - 999 = 9000.
• Druga metoda: 9999 - 1000 + 1 = 9009. Dodajemy jeden, ponieważ tysiąc to także liczba czterocyfrowa i po prostu odejmując ją, tracimy ją od sumy.
• Można także określić całkowitą liczbę cyfr.

Określ liczbę cyfr

Stało się wiadome, że czterocyfrowa liczba składa się z 4 cyfr, innymi słowy 4 cyfr. Oszacowano również, że znanych jest 9 000 liczb czterocyfrowych. Wtedy otrzymujemy: 9000 * 4 = 36000.

Odpowiedź: W sumie jest 9 000 liczb czterocyfrowych i jeśli napiszesz je wszystkie pod rząd, otrzymasz 36 000 cyfr.

Zadanie 4. Ile jest dwucyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach?

Rozwiązanie. Niech α = α1 α2 będzie dwucyfrową liczbą parzystą, w której wszystkie cyfry są różne. Następnie α2 (0,2,4,6,8) i α 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\(α 2 }.

Jeśli α1 jest cyfrą nieparzystą, tj. α1 (1, 3, 5, 7, 9), stwierdzamy, że pierwszą cyfrę α1 można wybrać na 5 sposobów.

Za każdym razem, gdy zostanie wybrana pierwsza cyfra α1, drugą cyfrę α2 można wybrać na 5 sposobów.

Korzystając z reguły iloczynu, stwierdzamy, że istnieje 5 5 = 25 dwucyfrowych liczb parzystych, których pierwsza cyfra jest nieparzysta.

Jeśli α1 jest cyfrą parzystą, to α1 (2, 4, 6, 8) i α 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (α 1), tj. element α2 można wybrać na 4 sposoby.

Zgodnie z regułą iloczynu liczbę α można wybrać na 4 4 = 16 sposobów.

Zadanie 5. Ile jest liczb czterocyfrowych? podzielna przez 5, której wszystkie cyfry są różne?

Rozwiązanie. Niech A =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) będzie zbiorem cyfr, α= α1 α2 α3 α4 będzie liczbą czterocyfrową, gdzie α1 A\(0) ,

α4 (0,5)\(α1),α2 A\(α1 ,α4),α3 A\(α1 ,α2 ,α4 ).

Jeżeli α4 = 0, to α1 można wybrać na 9 sposobów, α2 można wybrać na 8 sposobów, a α3 można wybrać na 7 sposobów. Korzystając z reguły iloczynu, stwierdzamy, że liczba

α można uzyskać na 9 8 7 = 504 sposoby. Jeśli α 4 =5, wtedy α1 A\(0, 5 ), tj. cyfra α1 może być

wybrać na 8 sposobów, cyfrę α2 można także wybrać na 8 sposobów, a α3 na 7 sposobów. Zgodnie z regułą produktu

stwierdzamy, że liczbę α można wybrać na 8 8 7 = 448 sposobów.

Zatem, korzystając z reguły sumy, stwierdzamy, że istnieje 504 + 448 = 952 liczb czterocyfrowych podzielnych przez 5, z których każda ma różne cyfry.

Ten sam problem można rozwiązać w inny sposób.

Rozważmy parzystą liczbę dwucyfrową α = α1 α2, gdzie α1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) i α 2 (0, 2, 4, 6, 8).

W wielu problemach kombinatorycznych bezpośrednie znalezienie liczby interesujących nas opcji okazuje się trudne. Jednak przy pewnej zmianie warunków problemu można znaleźć liczbę opcji przekraczających oryginał o znaną liczbę razy. Ta technika nazywa się metoda wielokrotnego liczenia.

1. Ile anagramów ma słowo KLASA?

Trudność polega na tym, że w tym słowie znajdują się dwie identyczne litery C. Tymczasowo uznamy je za różne i oznaczymy C 1 i C 2. Wtedy liczba anagramów będzie równa 5! = 120. Ale te słowa, które różnią się od siebie jedynie przestawieniem liter C 1 i C 2, to w rzeczywistości ten sam anagram! Dlatego 120 anagramów dzieli się na pary identycznych, tj. wymagana liczba anagramów to 120/2 = 60.

2. Ile anagramów ma słowo CHARADA?

Licząc trzy litery A jako różne litery A 1, A 2, A 3, otrzymamy 6! anagramy Ale słowa, które powstają z siebie tylko poprzez przestawienie liter A 1, A 2, A 3, są w rzeczywistości tym samym anagramem. Bo są 3! permutacje liter A 1, A 2, A 3, pierwotnie uzyskano 6! Anagramy są podzielone na grupy po 3! identyczne, a liczba różnych anagramów wynosi 6!/3! = 120.

3. Ile jest liczb czterocyfrowych, które zawierają co najmniej jedną cyfrę parzystą?

Znajdźmy liczbę „niepotrzebnych” liczb czterocyfrowych, których zapis zawiera tylko cyfry nieparzyste. Takich liczb jest 5 4 = 625, ale w sumie jest 9000 liczb czterocyfrowych, więc wymagana liczba „potrzebnych” liczb to 9000 – 625 = 8375.

1. Znajdź liczbę anagramów słów VERESK, BALAGAN, CITYMAN.
2. Znajdź liczbę anagramów słów BAOBAB, BALLADA, TURN, ANAGRAM, MATEMATYKA, KOMBINATORIKA, OBRONA.
3. Na ile sposobów można zakwaterować 7 osób w trzech pokojach hotelowych: jedno, dwuosobowym i czteroosobowym?
4. W lodówce są dwa jabłka, trzy gruszki i cztery pomarańcze. Codziennie przez dziewięć dni z rzędu Petya otrzymuje jeden owoc. Na ile sposobów można to zrobić?
5. Spośród siedmiu najlepszych narciarzy szkoły należy wybrać trzyosobową drużynę, która weźmie udział w zawodach miejskich. Na ile sposobów można to zrobić?
6. Przed egzaminem profesor obiecywał, że połowie zdających wystawi złe oceny. Do egzaminu przystąpiło 20 uczniów. Na ile sposobów może spełnić swoją obietnicę?
7. Ile słów można ułożyć z pięciu liter A i nie więcej niż trzech liter B?
8. Dostępne są lody czekoladowe, truskawkowe i mleczne. Na ile sposobów możesz kupić trzy lody?
9. Podczas przygotowywania pizzy do sera dodaje się różne składniki, aby nadać mu szczególny smak. Bill ma do dyspozycji cebulę, grzyby, pomidory, paprykę i anchois, które jego zdaniem można dodać do sera. Ile rodzajów pizzy potrafi zrobić Bill?
10. Świadek kryminalnej rozgrywki pamiętał, że przestępcy uciekli mercedesem, którego tablica rejestracyjna zawierała litery T, Z, U oraz cyfry 3 i 7 (cyfra to linia, w której najpierw znajdują się trzy litery, a następnie trzy cyfry). . Ile jest takich liczb?
11. Ile przekątnych jest w wypukłej N-kwadrat?
12. Ile jest rzeczy? N-cyfrowe numery?
13. Ile jest liczb dziesięciocyfrowych, które mają co najmniej dwie identyczne cyfry?
14. Kostką rzucamy trzy razy. Wśród wszystkich możliwych ciągów wyników są takie, w których przynajmniej raz wyrzucono szóstkę. Ile tu tego jest?
15. Ile liczb pięciocyfrowych ma w zapisie cyfrę 1?
16. Na ile sposobów można ustawić na szachownicy białych i czarnych królów tak, aby się nie zderzyli?
17. Ile dzielników ma liczba 10800?

1. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których występują tylko cyfry parzyste?

Rozwiązanie:

1) pierwszą cyfrą może być dowolna cyfra parzysta z wyjątkiem zera (w przeciwnym razie liczba nie będzie czterocyfrowa) - są to łącznie 2, 4, 6 lub 8, 4 opcje

Opcje

2) przyjąć, że wybrana została pierwsza cyfra; Niezależnie od tego na drugim miejscu może znaleźć się dowolna z liczb parzystych - 0, 2, 4, 6 lub 8, w sumie 5 opcji:

Opcje

3) podobnie stwierdzamy, że dwie ostatnie cyfry można również wybrać na 5 sposobów, niezależnie od siebie i pozostałych cyfr (pierwszej i drugiej):

Opcje

4) łączna liczba kombinacji jest równa iloczynowi

4,5,5,5 = 500

5) zatem prawidłowa odpowiedź to 3.

2. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne?

Rozwiązanie:

1) pierwszą cyfrą może być dowolna liczba z wyjątkiem zera (w przeciwnym razie liczba nie będzie czterocyfrowa), łącznie 9 opcji

Opcje

2) załóżmy, że pierwsza cyfra X wybrany; Dowolna liczba może znaleźć się na drugim miejscu y, z wyjątkiem X, łącznie 9 opcji (zero też może być!):

Opcje

3) trzecia cyfra z może być dowolny, z wyjątkiem dwóch, które są już na dwóch pierwszych miejscach, w sumie jest 8 opcji:

Opcje

4) w końcu czwarta cyfra może być dowolną z pozostałych 7 (nierówną X, y I z)

Opcje

5) łączna liczba kombinacji jest równa iloczynowi

9 9 8 7 = 4536

6) zatem prawidłowa odpowiedź to 2.

3. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, które mają dokładnie dwie dziewiątki obok siebie?

Rozwiązanie:

1) możliwe są trzy przypadki: 99··, ·99· i ··99, gdzie pogrubiona kropka oznacza jakąś liczbę różną od 9

2) dla każdego z tych przypadków musisz policzyć liczbę opcji i dodać te liczby

3) w opcji 99·· dwie ostatnie cyfry mogą być dowolne z wyjątkiem dziewięciu (po 9 opcji):

Opcje

więc w sumie otrzymujemy 1 1 9 9 = 81 opcji

4) w opcji ·99· pierwsza cyfra nie może wynosić zero i dziewięć (pozostaje 8 opcji), a ostatnia cyfra może mieć dowolną wartość oprócz dziewięciu (9 opcji):

Opcje

więc w sumie otrzymujemy 8 1 1 9 = 72 opcje

5) w opcji ··99, pierwsza cyfra nie może wynosić zero i dziewięć (pozostaje 8 opcji), a ostatnia cyfra może mieć dowolną wartość oprócz dziewięciu (9 opcji):

Opcje

więc w sumie otrzymujemy 8 9 1 1 = 72 opcje

6) łączna liczba opcji jest równa sumie

81 + 72 + 72 = 225

4. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, które mają nie więcej niż dwie różne cyfry?

Rozwiązanie:

1) oznaczmy pierwszą cyfrę przez X, nie może wynosić zero, zatem jest 9 możliwych wyborów

Opcje

2) oznaczamy inną liczbę przez y, można go także wybrać na 9 sposobów (może wynosić zero, ale nie może być równy X)

3) trzy przypadki należy rozpatrywać odrębnie: xy··, xxy· I xxx·; w każdym z tych przypadków musisz policzyć liczbę opcji i dodać te liczby

4) w opcji xy·· dwie ostatnie cyfry można (niezależnie od siebie) wybrać jako równe X Lub y(po 2 możliwości):

			X Lub y	X Lub y
Opcje

więc w sumie otrzymujemy 9 9 2 2 = 324 opcje

5) w opcji xxy· ostatnia cyfra może być równa X Lub y(2 opcje):

				X Lub y
Opcje

więc w sumie otrzymujemy 9 1 9 2 = 162 opcje

6) w opcji xxx· ostatnia cyfra może być dowolna (10 opcji):

				X Lub y
Opcje

więc w sumie otrzymujemy 9 1 1 10 = 90 opcji

7) łączna liczba opcji jest równa sumie

324 + 162 + 90 = 576

8) zatem prawidłowa odpowiedź to 3.

5. Ile jest różnych liczb czterocyfrowych, w których wszystkie cyfry są nieparzyste i co najmniej jedna z nich jest równa 5?

Rozwiązanie (opcja 1):

1) rozważ cztery opcje: 5···, ·5··, ··5· i ···5; dla każdego z tych przypadków musisz obliczyć liczbę unikalny opcje (z wyłączeniem wszystkich popularnych!) i dodaj te liczby

2) w przypadku 5··· ostatnie trzy cyfry mogą być dowolne (po 5 niezależnych wyborów):

Opcje

więc w sumie otrzymujemy 1 5 5 5 = 125 opcji

3) na pierwszy rzut oka dla przypadku ·5·· sytuacja jest taka sama, ale tak nie jest; faktem jest, że część z tych opcji (na pierwszym miejscu jest 5) została już zaliczona do pierwszej grupy 5···, więc nie ma potrzeby uwzględniać ich po raz drugi; oznacza to, że pierwszym miejscem może być jedna z 4 cyfr - 1, 3, 7 lub 9:

Opcje

w sumie otrzymujemy 4 1 5 5 = 100 opcji

4) biorąc pod uwagę przypadek ··5·, należy odrzucić wszystkie opcje, w których piątki są na dwóch pierwszych miejscach

Opcje

w sumie otrzymujemy 4 4 1 5 = 80 opcji

5) dla ··5· otrzymujemy podobnie

Opcje

w sumie otrzymujemy 4 4 4 1 = 64 opcje

6) łączna liczba opcji

125 + 100 + 80 + 64 = 369 opcji

7) zatem prawidłowa odpowiedź to 2.

Rozwiązanie (opcja 2):

1) wszystkie liczby składające się wyłącznie z cyfr nieparzystych można podzielić na dwie grupy: te, które zawierają piątkę i te, które jej nie mają

2) znajdujemy całkowitą liczbę liczb składających się wyłącznie z cyfr nieparzystych, podobnie jak w pierwszym rozpatrywanym problemie; biorąc pod uwagę, że nie ma wśród nich zera, otrzymujemy

5 5 5 5 = 625 opcji

3) teraz podobnie znajdziemy liczbę liczb składających się tylko z liczb 1, 3, 7 i 9 (bez piątki); ponieważ każde z 4 miejsc może zawierać jedną z 4 cyfr, otrzymujemy

4,4,4,4 = 256 opcji

4) wynikiem, którego potrzebujemy, jest różnica

625 – 256 = 369 opcji

5) zatem prawidłowa odpowiedź to 2.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

1) Ile jest liczb czterocyfrowych, które mają dokładnie dwie ósemki nie sąsiadujące ze sobą?

2) Ile liczb czterocyfrowych składa się z różnych cyfr parzystych?

3) Ile jest liczb czterocyfrowych, które mają co najmniej jedną cyfrę parzystą?

4) Ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 5?

5) Ile jest liczb czterocyfrowych nieprzekraczających 3000, w których są dokładnie dwie cyfry „3”?

6) W mistrzostwach szachowych wzięło udział 40 zawodników. Każdy z każdym rozegrał po jednym meczu. Ile gier rozegrano w sumie?

7) W wazonie jest jabłko, gruszka, brzoskwinia i morela. Katya mogła wybrać dwa owoce. Ile opcji ma Katya?

9) Ile jest liczb czterocyfrowych, które czyta się tak samo „od lewej do prawej” i „od prawej do lewej”?

10) Łańcuszek z trzech koralików tworzymy według następującej zasady: Na pierwszym miejscu w łańcuszku znajduje się jeden z koralików A, B, C. Na drugim miejscu znajduje się jeden z koralików B, C, D. Na trzecim miejscu znajduje się jeden z koralików A, B, D, nie na pierwszym lub drugim miejscu w łańcuszku. Ile jest w sumie takich łańcuchów?

Klub klasy 5

Szefowie Dmitrij Władimirowicz Truszczin i Michaił Władimirowicz Szeblajew
Rok akademicki 2012/2013

Kombinatoryka (17 listopada 2012)

W sklepie dostępnych jest pięć rodzajów filiżanek i trzy rodzaje spodków. Na ile sposobów możesz wybrać filiżankę i spodek? Ile jest liczb czterocyfrowych, które zawierają a) tylko cyfry parzyste; b) co najmniej jedną cyfrę parzystą? W drużynie piłkarskiej liczy się 11 osób. Na ile sposobów możesz wybrać: a) kapitana i zastępcę; b) dwóch napastników?

Notatka. Najpierw umieść jeden element na planszy. Na ile sposobów można to zrobić? Następnie dla każdego z tych sposobów policz, ile przejść metra możesz ułożyć na planszy kolejny element tak, aby się one nie zderzyły.

Instrukcja 2. W punkcie b) rozważ 3 różne przypadki w zależności od liczby pól, na których można postawić drugiego króla.

Rozwiązanie.

a) Najpierw postawmy czarną wieżę. Można to zrobić na 8 · 8 = 64 sposoby. Aby zapobiec pokonaniu białej wieży, musisz umieścić ją w innym szeregu, to znaczy będzie dla niej 8 - 1 = 7 wolnych szeregów i 8 - 1 = 7 pionów. To znaczy, że możesz umieść białą wieżę z czarną już umieszczoną 7 · 7 = 49 sposobów. Ponieważ na każdy z 64 sposobów umieszczenia czarnej wieży przypada 49 sposobów umieszczenia białej wieży, to całkowita liczba sposobów umieszczenia obu wyniesie 64 · 49 = 3136.

b) Na początek postawmy czarnego króla. Na ile sposobów pozostanie wówczas ustawienie bieli? Przyjrzyjmy się różnym przypadkom:

Jeśli czarny król znajduje się w rogu planszy, białego króla nie można umieścić na 4 komórkach, to znaczy można go umieścić na jednej z 8 8 - 4 = 60 komórek. Na planszy są 4 rogi, czyli takie przypadki, gdy czarny król jest w rogu, a biały go nie uderza, 4 60 = 240.

Co więcej, jeśli czarny król znajduje się na krawędzi szachownicy (a nie w rogu), wówczas białych nie można umieścić na 6 komórkach, to znaczy można postawić na 64 - 6 = 58 komórek. Na każdej z 4 stron planszy znajduje się 8 - 2 = 6 pól, gdzie czarny król stanie na krawędzi, ale nie w rogu, czyli w sumie będzie 4 6 58 = 1392 takich opcji dla umieszczenie obu królów.