Презентация комплексные числа. Презентация на тему комплексные числа

Комплексные числа Комплексные числа и операции над ними.

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции. Натуральные числа, N Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в N Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение. Деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Z Рациональные числа, Q Сложение, вычитание, умножение, деление. Извлечение корней из неотрицательных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Q Действительные числа, R Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел. Извлечение корней из произвольных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в R Комплексные числа, C Все операции

УСЛОВИЯ, которые должны удовлетворять комплексные числа … 1. Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 2.Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3.Операции сложение, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному)

Вид комплексного числа В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: ai+bi =(a+b) i ; ai -bi=(a-b) i ; a(bi)=(ab) i ; (ai)(bi)=abi²=- ab (a и b – действительные числа) i²= -1, i - мнимая единица

Определения Определение №1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – мнимая единица. В записи z = a+bi число a называют действительной частью комплексного число z , а число b – мнимой частью комплексного числа z . Определение №2 Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Определение № 3 Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Z=X+YI X - YI

Формулы Сумма комплексных чисел: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) Разность комплексных чисел: z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Произведение комплексных чисел: (a+bi)(c+di)= i (ac- bd)+(bc+ad) Формула для частного двух комплексных чисел: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Свойства Свойство 1 Если z = x + yi , то z*z = x ² + y ² z 1 Следует и числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. Свойство 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 т.е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Свойство 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, т.е. число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Свойство 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 т.е число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам. С другой стороны, Z 1= a-bi, c- di , значит, Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Свойство 5 Свойство 6

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Сложение и умножение комплексных чисел. Алгебраическая форма Геометрическая форма Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1 + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I

Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

Спасибо за внимание! Презентацию выполнила: ученица 10 «а» класс МОАУ «Гимназии №7» г.Оренбурга Елимова Мария.

1 слайд

2 слайд

N C Z C Q C R C C N- ”natural” R- “real” C - “complex” Z – исключительная роль нуля “zero” Q – “quotient” отношение (т.к. рациональные числа – m/n) C R Q Z N

3 слайд

Минимальные условия комплексного числа 1) Существует число, квадрат которого = -1. 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяет обычным законом арифметических действий.

4 слайд

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый») "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707-1783), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и» отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. К а р д а н о, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

5 слайд

Условия про операции комплексных чисел позволяют умножать комплексные числа на мнимую единицу (i). Такое произведение называют чисто мнимыми числами. Например: i, 2i, -0,3i – чисто мнимые числа. 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i2=-39 ПРАВИЛА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 10 ai+bi=(a+b)i 20 a(bi)=(ab)i 30 (ai)(bi)=abi2= -ab 40 0i =0

6 слайд

Сумма a+bi (a и b действительные числа) а = 0, то a+bi =0+bi=bi (мнимое) b = 0, то a+bi =а+0=а (действительное) а не равно нулю, то a+bi ни действительное, не мнимое. Оно более сложное составное число. КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЗЫВАЮТ СУММУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА И ЧИСТО МНИМОГО ЧИСЛА Z=a + bi

1. Развитие понятия о числе Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

3. Утверждение комплексных чисел в математике Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами

Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – длина вектора (a+bi), q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс

Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии

0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" class="link_thumb"> 25 Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа."> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт">

Слайд 2

1. Развитие понятия о числе

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы.

Слайд 3

Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Слайд 4

2. На пути к комплексным числам

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Слайд 5

В формуле для решения кубических уравнений вида:

Слайд 6

кубические и квадратные корни:

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Кроме х=1, есть еще два корня

Слайд 10

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

Слайд 11

не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида

Слайд 12

нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что

Слайд 13

3. Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Слайд 14

Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слайд 15

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Слайд 16

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу

Слайд 17

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

Слайд 18

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины.

Слайд 19

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”

Слайд 20

Слайд 21

4.Геометрическое представление комплексного числа

Слайд 22

Слайд 23

5. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами a = r cos q , r=a/cos q b = r sin q , r=b/sin q r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс

Слайд 24

Комплексные числа, несмотря на их“лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии

Слайд 25

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.

Слайд 26

Спасибо за внимание!

Посмотреть все слайды

1,85  -2  0,8 Мир чисел бесконечен.  Первые представления о числе возникли из счета предметов (1, 2, 3 и т. д.) – НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.  В последствии возникли ДРОБИ как результат измерения длины, веса и т. д. (, и т. д.)  ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, появились с развитием алгебры Целые числа (т. е. натуральные 1, 2, 3,и т. д.), отрицательные числа (-1,-2, -3 и т. д. и нуль), дроби называются РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. ,  Рациональными числами нельзя точно выразить длину диагонали квадрата, если длина стороны ровна единице измерения. Чтобы точно выразить отношения несоизмеримых отрезков надо ввести новое число:  ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ (и т. д.) Рациональные и иррациональные – образуют множество: Действительных чисел. При рассмотрении действительных чисел отмечалось, что в множестве действительных чисел нельзя, например, найти число, квадрат которого равен. При рассмотрении квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами так же отмечалось, что такие уравнения не имеют корней, которые были бы действительными числами. Что бы подобные задачи были разрешимы, вводят новые числа – Комплексные числа Комплексные числа 2=-1 3=- = 4 =1 b - Мнимые числа a + b – Комплексные числа a, b – Любые действительные числа Прошлое и настоящее комплексных чисел. Комплексные числа возникли в математике более 400 лет назад. Впервые столкнулись с квадратными корнями из отрицательных чисел. Что такое, какой смысл следует предавать этому выражению, никто не знал. Квадратный корень из любого отрицательного числа не имеет смысла во множестве действительных чисел. С этим сталкиваются при решении квадратных, кубических уравнений, уравнений четвертой степени. МАТЕМАТИКИ СЧИТАЛИ: ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР Квадратные корни из отрицательных чисел – ввиду, что они не больше, не меньше и не равны нулю – не могут быть причислены к возможным числам. Готфрид Вильим Лейбнец Готфрид Лейбнец называл комплексные числа «изящным и чудесным убежищем божественного духа», выродком мира идей, почти двойственным существом, находящимся между быть и не быть». Он даже завещал начертить на своей могиле знак как символ потустороннего мира. К. Гаусс в начале ХĮХ века предложил назвать их «комплексными числами». К. Ф. гаусс Формы комплексных чисел: Z=a+bi – алгебраическая форма Z=r() – тригонометрическая Z=rE - показательная Комплексные числа применяются:  При составлении географических карт  В теории самолетостроения  Использованы в разнообразных исследованиях по теории чисел  В электромеханике  При изучении движения естественных и искусственных небесных тел и т. д. И в заключение презентации предлагая Разгадать кроссворд «Проверь себя» 8 1 3 2 7 5 6 4 1.Как называется число вида Z=a+bc? 2.В какой степени мнимой единицы получается один? 3.Как называются числа отличающиеся лишь знаком при мнимой части?4. Длина вектора. 5.Угол под которым находится вектор. 6. Какая форма комплексного числа: Z=r(cos +sin)? 7. Какая форма комплексного числа Z=re? 8. Вид Д=b -4ac, что такое Д?