Точка принадлежащая профильной плоскости проекций имеет координаты. Проекции точки
Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости H - горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 4.12, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости H.
На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произвольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 4.12, а).
Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа х, параллельным оси Оу и перпендикулярным оси Ох. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а х, луч пересечет плоскость V в точке а". Проведя из точки а х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является фронтальной проекцией точки А, т. е. ее изображением на плоскости V.
Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W.
Точку а" можно построить, проведя от точки а" отрезок а"а z (изображение проецирующего луча Аа" на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а z - отрезок а"а z параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.
Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. 4.11,б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа" и Аа" убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Оу и Ох, Оу 1 (рис. 4.13).
Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния - Аа", Аа и Аа" (рис. 4.12, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования - точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 4.13). Отрезки а"а z , аа y и Оа х равны Аа" как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а"а х, а"а у1 и Оа у равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа х, а"а z и Оа y 1 равны отрезку Аа", определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.
Отрезки Оа х, Оа у и Оа z , расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.
На эпюре отрезки а"а х и аа х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох а отрезки а"а z и a"a z - к оси Оz. Эти лини называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а х и а z соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а у.
Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.
Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О) На рис. 4.14, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве По этим двум проекциям можно построит профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут построены на двух плоскостях проекций: V и Н.
Рис. 4.14. Рис. 4.15.
Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.
Пример 1. Определение координат точки J заданной на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14). Измеряются три отрезка: отрезок Ов Х (координата X), отрезок b Х b (координата Y) и отрезок b Х b" (координата Z). Координаты записывают в следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.
Пример 2 . Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 4.15) находят точку с х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку с - горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с" - фронтальную проекцию точки С.
Пример 3 . Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проекции точки D - d и d". Через точку О проводят оси проекций Oz, Oy и Оу 1 (рис. 4.16, а). Для построения профильной проекции точки D отточки d" проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz. На этой линии будет располагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Oz, на каком горизонтальная проекция точки d располагается: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd x . Отрезки d z d" и dd x одинаковы, так как определяют одно и то же расстояние - расстояние от точки D до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой У точки D.
Графически отрезок d z d" строят перенесением отрезка dd x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Ох, получают на оси Оу точку d y (рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка Od y на ось Оу 1 , проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od y , до пересечения с осью Оу 1 (рис. 4.16,б), получают точку dy 1 . Эту точку можно построить и как показано на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки d y . Из точки d y1 проводят линию проекционной связи параллельно оси Oz и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d"d x , получают точку d".
Перенос величины отрезка d x d на профильную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию проекционной связи dd y проводят через горизонтальную проекцию точки параллельно оси Оу 1 до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с продолжением линии проекционной связи d"d z .
Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций
Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 4.17 координата У точки А определяется отрезком аа х - расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а"а х - расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рис. 4.17 приведены примеры различного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b х. Координата У точки С равна нулю, точка располагается на плоскости V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с х.
Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.
На рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D находится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.
|
Словесная форма |
Графическая форма |
|
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получаем точки A x , A y , A z | |
|
2. Горизонтальная проекция А 1 находится на пересечении линий связи из точек A x и A y , проведенных параллельно осям X и Y |
|
|
3. Фронтальная проекция А 2 находится на пересечении линий связи из точек A x и A z , проведенных параллельно осям X и Ζ |
|
|
4. Профильная проекция А 3 находится на пересечении линий связи из точек A z и A y , проведенных параллельно осям Ζ и Y |
|
3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций
Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П 3 (проекция на П 2 или П 1), координатой У – удалённость от плоскости П 2 (проекция на П 3 или П 1), координатой Z – удаленность от плоскости П 1 (проекция на П 3 или П 2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Классификация точек
Т очка общего положения . Координаты точки общего положения не равны нулю (x ≠0, y ≠0, z ≠0 ), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).
На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.
Точки частного положения . Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.A П 3 ,то точка Х А =0; В П 3 ,то точка Х В =0; С П 2 ,то точкаY C =0;D П 1 ,то точкаZ D =0.
Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(G OZ,то точка Х G =0,Y G =0).
3.3. Взаимное положение точек в пространстве
Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.
На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.
Их
взаимное расположение можно оценить
по удаленности к плоскостям проекций:
Y А >Y В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точкаB;
Z А >Z В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точкаB;
X А На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у
которых одна из координат совпадает,
а две другие отличаются. Их
взаимное расположение можно оценить
по удалённости к плоскостям проекций
следующим образом: Y А =Y В =Y D ,
то точки А, В и D
равноудалены от плоскости П 2 ,
и их горизонтальные и профильные
проекции расположены соответственно
на прямых [А 1 В 1 ]llОХ
и [А 3 В 3 ]llOZ.
Геометрическим местом таких точек
служит плоскость, параллельная П 2 ; Z А =Z В =Z С,
то точки А, В и С равноудалены от плоскости
П 1 ,
и их фронтальные и профильные проекции
расположены соответственно на прямых
[А 2 В 2 ]llОХ
и [А 3 С 3 ]llOY.
Геометрическим местом таких точек
служит плоскость, параллельная П 1 ; X А =X C =X D ,
то точки А,
C
и D
равноудалены от плоскости П 3
и их горизонтальные и фронтальные
проекции расположены соответственно
на прямых [А 1 C 1 ]llOY
и [А 2 D 2 ]llOZ
. Геометрическим местом таких точек
служит плоскость, параллельная П 3 . 3.
Если у точек равны две одноименные
координаты, то они называются
конкурирующими
.
Конкурирующие точки расположены на
одной проецирующей прямой. На рис. 3.3
даны три пары таких точек, у которых:
X А =X D ;
Y А =Y D ;
Z D
>
Z А;
X A =X C ;
Z A =Z C ;
Y C
>
Y A ;
Y A =Y B ;
Z A =Z B ;
X B
>
X A . Различают
горизонтально конкурирующие точки А и
D, расположенные на горизонтально
проецирующей прямой АD, фронтально
конкурирующие точки A и C, расположенные
на фронтально проецирующей прямой AC,
профильно конкурирующие точки A и B,
расположенные на профильно проецирующей
прямой AB. Выводы
по теме
1.
Точка
– линейный геометрический образ, одно
из основных понятий начертательной
геометрии. Положение точки в пространстве
можно определить её координатами. Каждая
из трёх проекций точки характеризуется
двумя координатами, их название
соответствует названиям осей, которые
образуют соответствующую плоскость
проекций: горизонтальная – A 1 (XA;
YA);
фронтальная – A 2 (XA; ZA);
профильная – A 3 (YA; ZA).
Трансляция координат между проекциями
осуществляется с помощью линий связи.
По двум проекциям можно построить
проекции точки либо с помощью координат,
либо графически. 3.
Точка по отношению к плоскостям проекций
может занимать в пространстве как общее,
так и частное положение. 4.
Точка общего положения – точка, не
принадлежащая ни одной
из плоскостей
проекций, т. е. лежащая в пространстве
между плоскостями проекций. Координаты
точки общего положения не равны нулю
(x≠0,y≠0,z≠0). 5.
Точка частного положения – это точка,
принадлежащая одной или двум плоскостям
проекций. Одна из координат у точки
частного положения равна нулю, поэтому
проекция точки лежит на соответствующем
поле плоскости проекций, другие две –
на осях проекций. 6.
Конкурирующие точки – точки, одноименные
координаты которых совпадают. Существуют
горизонтально конкурирующие точки,
фронтально конкурирующие точки, профильно
конкурирующие точки. Ключевые
слова
Координаты
точки Точка
общего положения Точка
частного положения Конкурирующие
точки Способы
деятельности, необходимые для решения
задач
– построение
точки по заданным координатам в системе
трех плоскостей проекций в пространстве; – построение
точки по заданным координатам в системе
трех плоскостей проекций на комплексном
чертеже. Вопросы
для самопроверки
1.
Как устанавливается связь расположения
координат на комплексном чертеже в
системе трех плоскостей проекций П 1 П 2 П 3
с координатами проекций точек? 2.
Какими координатами определяется
удалённость точек до горизонтальной,
фронтальной, профильной плоскостей
проекций? 3.
Какие координаты и проекции точки будут
изменяться, если точка перемещается в
направлении, перпендикулярном
профильной плоскости проекций П 3 ? 4.
Какие координаты и проекции точки будут
изменяться, если точка перемещается в
направлении, параллельном оси OZ? 5.
Какими координатами, определяется
горизонтальная (фронтальная, профильная)
проекция точки? 7.
В каком случае проекция точки совпадает
с самой точкой пространства и где
располагаются две другие проекции этой
точки? 8.
Может ли точка принадлежать одновременно
трём плоскостям проекций и в каком
случае? 9.
Как называют точки, одноимённые проекции
которых совпадают? 10.
Каким образом можно определить, какая
из двух точек ближе к наблюдателю, если
их фронтальные проекции совпадают? Задания
для самостоятельного решения
2.
Построить проекции точек А и В по их
координатам на наглядном изображении
и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20).
Построить проекцию точки С, расположенной
симметрично точке А относительно
фронтальной плоскости проекций П 2 . 3. Построить проекции точек А, В, С по их
координатам на наглядном изображении
и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30;
-20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D,
расположенную симметрично точке С
относительно осиOХ. Пример решения типовой задачи
Задача
1.
Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3) ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Сущность метода ортогонального проецирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, ортогональными (перпендикулярными) к этим плоскостям.. Одну из плоскостей проекций H располагают горизонтально, а вторую V — вертикально. Плоскость H называют горизонтальной плоскостью проекций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX
.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые расположены в пределах той же первой четверти. При построении проекций необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки
на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки
на эту плоскость.
На рисунке показаны точка А
и ее ортогональные проекции а 1
и а 2 .
Точку а 1
называют горизонтальной проекцией
точки А,
точку а 2
— ее фронтальной проекцией
. Каждая из них является основанием перпендикуляра, опущенного из точки А
соответственно на плоскости H
и V
. Можно доказать, что проекции точки
всегда расположены на прямых, перпенди
кулярных оси
ОХ
и пересекающих эту ось
в одной и той же точке.
Действительно, проецирующие лучи А
а 1
и А
а 2
определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ.
Эта плоскость пересекает H
и V
по прямым а 1 а
x
и а 1 а
x
,
которые образуют с осью OX
и друг с другом прямые углы с вершиной в точке а
x
.
Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки
a
1
и a
2
,
расположенные на прямых, пересекающих
ось OX
в данной точке под прямым углом,
то они являются проекциями некоторой
точки А.
Эта точка определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a
1
и a
2
к плоскостям H
и V
. Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается справедливым. Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных выше проекций, плоскость H
совмещают вращением вокруг оси OX
с плоскостью V
, как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H
будет совмещена с нижней полуплоскостью V
, а задняя полуплоскость H
— с верхней полуплоскостью V
. Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром
(от франц. еpure - чертеж). На рисунке показан эпюр точки А.
При таком способе совмещения плоскостей H
и V
проекции a
1
и a
2
окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX
. При этом расстояние a
1
a x
—
от горизонтальной проекции точки до оси OX
А
до плоскости V
, а расстояние a
2
a x
—
от фронтальной проекции точки до оси OX
равно расстоянию от самой точки А
до плоскости H
. Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, условимся называть линиями проекционной связи
. Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находится данная точка. Так, если точка В
расположена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции окажутся лежащими над осью OX.
Если точка С
находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX
.
Наконец, если точка D
расположена в четвертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX
.
На рисунке показаны точки М
и N
, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX
.
Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса. Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или четвертой четверти на одинаковом расстоянии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если последняя расположена на оси OX
.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в пространстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность точек, то можно утверждать, что и две ортогональные проекции предмета (при наличии буквенных обозначений) вполне определяют его форму. Однако в практике изображения строительных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым. Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H
и V
, обозначается буквой W
и называется профильной.
Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обозначают их заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (a
з,
b
з,
c
з, ...
1з, 2з, 3 3 ...).
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси: О
X
, О
Y
и О
Z
,
которые можно рассматривать как систему прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Система знаков, указанная на рисунке, соответствует «правой системе» координат. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты
. Нумерация октантов дана на рисунке. Для получения эпюра плоскости H
и W
вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V
. В результате вращения передняя полуплоскость H
оказывается совмещенной с нижней полуплоскостью V
, а задняя полуплоскость H
— с верхней полуплоскостью V
. При повороте на 90° вокруг оси О
Z
передняя полуплоскость W
совместится с правой полуплоскостью V
, а задняя полуплоскость W
— с левой полуплоскостью V
. Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси О
X
и О
Z
,
лежащие в не подвижной плоскости V
, изображены только один раз, а ось О
Y
показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H
, ось О
Y
на эпюре совмещается с осью О
Z
,
а вращаясь вместе с плоскостью W
, эта же ось совмещается с осью О
X
.
В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— О
X
,
— О
Y
,
— О
Z
)
указываться не будут. ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА. Координатами называют числа, которые
ставят в соответствие точке для определе
ния ее положения в пространстве или на
поверхности.
В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у
и z
. Координату х
называют абсциссой
, у
— ординатой
и z
— аппликатой.
Абсцисса х
определяет расстояние от данной точки до плоскости W
, ордината у —
до плоскости V
и аппликата z
-
до плоскости H
. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Какая-либо точка пространства А,
заданная координатами, будет обозначаться так: A
(х, у,
z
).
Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А
(5, 4, 6). Эта точка А,
все координаты которой положительны, находится в первом октанте Координаты точки А
являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора ОА
по отношению к началу координат. Если i
,
j
,
k
— единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у,
z
(рисунок), то ОА =
О
A x i
+ОА
y
j
+
ОА
z
k
,
где ОА Х, ОА У, ОА г —
координаты вектора ОА
Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О
откладывают отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6
единицам длины. На этих отрезках (О
a x
, О
a y
,
О
a z
),
как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А.
Легко заметить, что для определения точки А
достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например О
a x
,
a x a
1
и a
1
А
или О
a y
,
a y a
1
и a
1
A
и т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки. Однако построение параллелепипеда позволяет определить не только точку А,
но и все три ее ортогональные проекции. Лучами, проецирующими точку на плоскости H
,
V
,
W
являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.
Каждая из ортогональных проекций точки А,
будучи расположенной на плоскости, определяется только двумя координатами. Так, горизонтальная проекция a
1
определяется координатами х
и у,
фронтальная проекция a
2
— координатами х и
z
,
профильная проекция a
3
—
координатами у
и z
. Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно заданию точки тремя координатами. На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a
1
и a
2
окажутся на одном перпендикуляре к оси О
X
,
а проекции a
2
и a
3
—
на одном перпендикуляре к оси OZ
.
Что касается проекций a
1
и a
3
,
то и они связаны прямыми a
1
a y
и a
3
a y
,
перпендикулярными оси О
Y
.
Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a
1
a y
не может быть продолжением отрезка a
3
a y
.
Построение проекций точки А (5, 4, 6)
на эпюре по заданным координатам выполняют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок О
a x
= х
(в нашем случае х =
5),
затем через точку a x
проводят перпендикуляр к оси О
X
,
на котором с учетом знаков откладываем отрезки a x a
1
= у
(получаем a
1
)
и a x a
2
= z
(получаем a
2
). Остается построить профильную проекцию точки a
3
.
Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ
,
то через a
3
проводят прямую a
2
a z
^ OZ
.
Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси О
Z
должна находиться a 3 ? Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a z a
3
= Oa y
= a x a
1
= y
заключаем, что искомое расстояние a z a
3
равно у.
Отрезок a z a
3
откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у Проследим за тем, какие изменения произойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве. Пусть, например, точка А (5, 4, 6)
станет перемещаться по прямой, перпендикулярной плоскости V
. При таком движении будет меняться только одна координата у,
показывающая расстояние от точки до плоскости V
. Постоянными будут оставаться координаты х и
z
,
а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. a
2
не изменит своего положения. Что касается проекций a
1
и a
3
, то первая начнет приближаться к оси О
X
,
вторая — к оси О
Z
.
На рисунках новому положению точки соответствуют обозначения a
1
(a
1
1
a
2
1
a
3
1
). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V
(y = 0), две из трех проекций (a
1
2
и a
3
2
) будут лежать на осях. Переместившись из I
октанта во II
, точка начнет удаляться от плоскости V
, координата у
станет отрицательной, ее абсолютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H
, на эпюре окажется выше оси О
X
,
а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W
, на эпюре будет слева от оси О
Z
.
Как всегда, отрезок a z
a
3
3
= у.
На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения координатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чертеж. В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе
ние предмета, а не его положение относи
тельно плоскостей проекций.
Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельного переноса (рисунок). Их обычно перемещают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью H
и перед плоскостью V
. Так как положение оси X 12 оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H
и V
совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых. Безосный эпюр точек А и В
(рисунок) не
определяет их положения в пространстве,
но позволяет судить об их относительной ориентировке.
Так, отрезок △x характеризует смещение точки А
по отношению к точке В
в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А
расположена левее точки В.
Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в
нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В,
на расстояние, равное △y. Наконец, отрезок △z показывает превышение точки А
над точкой В.
Сторонники безосного изучения курса начертательной геометрии справедливо указывают, что при решении многих задач можно обходиться без осей координат. Однако полный отказ от них нельзя признать целесообразным. Начертательная геометрия призвана подготовить будущего инженера не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых не последнее место занимают задачи пространственной статики и механики. А для этого необходимо воспитывать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки будут необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия. Поэтому на ряде эпюров этой книги мы сохраняем изображения координатных осей. Такие чертежи определяют не только форму предмета, но и его расположение относительно плоскостей проекций. Цели:
ХОД УРОКА I ЭТАП. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ.
II ЭТАП. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ.
ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ ПАУЗА. РЕФЛЕКСИЯ
(НАСТРОЕНИЕ)
III ЭТАП. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА.
I ЭТАП. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
1) Учитель:
Проверьте свое рабочее место, всё
ли на месте? Все готовы к работе? ВЗДОХНУЛИ ГЛУБОКО, НА ВЫДОХЕ ЗАДЕРЖАЛИ ДЫХАНИЕ,
ВЫДОХНУЛИ. Определите свое настроение на начало урока по
схеме (такая схема лежит у каждого на столе) Я ЖЕЛАЮ ВАМ УДАЧИ. 2) Учитель: Практическая работа по
теме “
Проекции вершин, ребер, граней”
показала, что есть ребята, которые допускают
ошибки при проецировании. Путаются, какая из двух
совпадающих точек на чертеже является видимой
вершиной, а какая невидимой; когда ребро
параллельно плоскости, а когда перпендикулярно.
То же самое с гранями. Чтобы исключить повторение ошибок, по
консультирующей карточке выполните необходимые
задания и исправьте ошибки в практической работе
(от руки). И работая, помните: “ОШИБАТЬСЯ МОЖЕТ КАЖДЫЙ, ОСТАВАТЬСЯ
ПРИ СВОЕЙ ОШИБКЕ – ТОЛЬКО БЕЗУМНЫЙ”.
А тот, кто хорошо усвоил тему,
поработают в группах с творческими заданиями (см.
Приложение 1
). II ЭТАП. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И
НАВЫКОВ
1) Учитель:
На производстве встречаются
множество деталей, которые крепятся друг к другу
определенным образом. Ответ:
Болтом. Учитель:
А что для болта необходимо? Ответ:
Отверстие. Учитель:
Действительно. А чтобы отверстие
выполнить, надо знать его расположение на
изделие. Изготавливая стол, столяр не может
каждый раз обращаться к заказчику. Значит, чем
необходимо обеспечить столяра? Ответ:
Чертежом. Учитель:
Чертеж!? А что мы с вами называем
чертежом? Ответ:
Чертежом называется изображение
предмета прямоугольными проекциями в
проекционной связи. По чертежу можно представить
геометрическую форму и конструкцию изделия. Учитель:
Мы с вами выполнили прямоугольные
проекции, а дальше? Сможем ли мы по одним
проекциям определить расположение отверстий?
Что нам необходимо еще знать? Чему научиться? Ответ:
Строить точки. Находить проекции
этих точек на всех видах. Учитель:
Молодцы! Это и есть цель нашего
урока, и тема: Построение проекций точек на
поверхности предмета.
Запишите тему урока в
тетрадь. (Смотрим чертеж на доске, работаем в тетради,
где выполнены дома 3 проекции такой же детали).
– Открыли тетрадь с выполненным чертежом
(Объяснение построения точек на поверхности
предмета с наводящими вопросами на доске, а
учащиеся закрепляют в тетради.)
Учитель:
Рассмотрим точку В
.
Какой
плоскости параллельна грань с этой точкой? Ответ:
Грань параллельна фронтальной
плоскости. Учитель:
Задаемся проекцией точки b’
на фронтальной проекции. Проводим вниз от точки b’
вертикальную линию связи до горизонтали
проекции. Где будет находиться горизонтальная
проекция точки В
? Ответ:
На пересечении с горизонтальной
проекцией грани, которая спроецировалась в
ребро. И находится внизу проекции (вида). Учитель:
Профильная проекция точки b’’
,
где будет находиться? Как мы ее найдем? Ответ:
На пересечении горизонтальной линии
связи из b’
с вертикальным ребром справа.
Это ребро и есть проекция грани с точкой В.
К ДОСКЕ ВЫЗЫВАЮТСЯ ЖЕЛАЮЩИЕ ПОСТРОИТЬ
СЛЕДУЮЩУЮ ПРОЕКЦИЮ ТОЧКИ. Учитель:
Проекции точки А
так же
находятся с помощью линий связи. Какой плоскости
параллельна грань с точкой А
? Ответ:
Грань параллельна профильной
плоскости. Задаемся на профильной проекции
точкой а’’
. Учитель:
На какой проекции грань
спроецировалась в ребро? Ответ:
На фронтальной и горизонтальной.
Проведем горизонтальную линию связи до
пересечения с вертикальным ребром слева на
фронтальной проекции, получим точку а’
. Учитель:
А как найти проекцию точки А
на
горизонтальной проекции? Ведь линии связи из
проекции точек а’
и а’’
не
пересекают проекцию грани (ребро) на
горизонтальной проекции слева. Что нам может
помочь? Ответ:
Можно воспользоваться постоянной
прямой (она определяет место вида слева) из а’’
проводят вертикальную линию связи до
пересечения с постоянной прямой. Из точки
пересечения проводят горизонтальную линию
связи, до пересечения с вертикальным ребром
слева. (Это и есть грань с точкой А) и обозначает
проекцию точкой а
. 2) Учитель:
У каждого на столе лежит
карточка-задание, с прикреплённой калькой.
Рассмотрите чертёж, теперь попробуйте
самостоятельно, без перечерчивания проекций,
найти на чертеже заданные проекции точек. – Найдите в учебнике стр. 76 рис. 93. Проверьте
себя. Кто выполнил правильно – оценка "5""; одна
ошибка – ‘’4’’; две – ‘’3’’. (Оценки выставляют сами учащиеся в листе
самоконтроля).
– Собрать карточки для проверки. 3) Работа в группах:
Время ограничено: 4мин. + 2
мин. проверки. (Две парты с учащимися
объединяются, и внутри группы выбирается
руководитель).
На каждую группу раздаются задания в 3-х
уровнях. Учащиеся выбирают задания по уровням,
(по своему желанию). Решают задачи на построение
точек. Обсуждают построение под контролем
руководителя. Затем на доске с помощью кодоскопа
высвечивается правильный ответ. Все проверяют
правильность выполнения проецирования точек.
При помощи руководителя группы выставляют
оценки на заданиях и в листах самоконтроля (см. Приложение 2
и Приложение
3
). ЗДОРОВЬЕСБЕРЕГАЮЩАЯ ПАУЗА. РЕФЛЕКСИЯ
“Поза фараона”
– сесть на край стула,
выпрямить спину, руки согнуть в локтях, ноги
скрестить и поставить на носочки. Вздохнуть,
напрячь все мышцы тела на задержке дыхания,
выдохнуть. Сделать 2-3 раза. Глаза сильно зажать,
до звездочек, открыть. Отметить свое настроение. III ЭТАП. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
(Индивидуальные задания)
Предлагаются карточки-задания на выбор с
разным уровнем. Учащиеся самостоятельно
выбирают по своим силам вариант. Найти проекции
точек на поверхности предмета. Работы сдаются и
оцениваются к следующему уроку. (См. Приложение
4
, Приложение 5
, Приложение 6
). IV ЭТАП. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ
1) Задание на дом. (Инструктаж).
Выполняется
по уровням: В – понимание, на "3". Упр.1 рис. 94а стр. 77 –
по заданию в учебнике: достроить недостающие
проекции точек на данных проекциях. Б – применение, на "4". Упр.1 рис.94 а, б.
достроить не достающие проекции и обозначить
вершины на наглядном изображении в 94а и 94б. А – анализ, на "5". (Повышенной сложности.)
Упр. 4 рис.97 – построить не достающие проекции
точек и обозначить их буквами. Наглядного
изображения нет. 2) Рефлексивный анализ.
3) “Ошибающийся учитель”
Учитель:
Вы научились строить проекции
вершин, ребер, граней и точки на поверхности
предмета, соблюдая все правила построения. Но вот
вам передали чертеж, где есть ошибки. Попробуйте
теперь себя в роли учителя. Найдите сами ошибки,
если найдете все 8–6 ошибок, то оценка
соответственно “5”; 5–4 ошибки –“4”, 3 ошибки –
“3”. Ответы:
Аппарат проецирования
Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций: π 1 –
горизонтальная плоскость проекций; π 2 –
фронтальная плоскость проекций; π 3
– профильная плоскость проекций.
Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π 1
^
π 2
^
π 3
), а их линии пересечения образуют оси: Пересечение плоскостей π 1
и π 2
образуют ось 0Х
(π 1
∩
π 2
= 0Х
); Пересечение плоскостей π 1
и π 3
образуют ось 0Y
(π 1
∩
π 3
= 0Y
); Пересечение плоскостей π 2
и π 3
образуют ось 0Z
(π 2
∩
π 3
= 0Z
). Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0). Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат. Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I
-ом октанте. Проецирование ортогональное с центрами проецирования S 1
, S 2
и S 3
соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций. А
. Из центров проецирования S 1
, S 2
и S 3
выходят проецирующие лучи l 1
, l 2
и l 3
А
- А 1
А
; - А 2
– фронтальная проекция точки А
; - А 3
– профильная проекция точки А
. Точка в пространстве характеризуется своими координатами A
(x,y,z
). Точки A x
, A y
и A z
соответственно на осях 0X
, 0Y
и 0Z
показывают координаты x, y
и z
точки А
. На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А
пространства, её проекциями и координатами. Эпюр точки
Чтобы получить эпюр точки А
(рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π 1
А 1
0Х
π 2
. Затем плоскость π 3
с проекцией точки А 3
, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z
, до совмещения её с плоскостью π 2
. Направление поворотов плоскостей π 2
и π 3
показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А 1 А х
и А 2 А х
0Х
перпендикуляре А 1 А 2
, а прямые А 2 А х
и А 3 А х
станут располагаться на общем к оси 0Z
перпендикуляре А 2 А 3
. Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной
и горизонтальной
линиями связей. Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются. А
(x A , y A , z A
x A , y A
и z A
в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки. 1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY
и OZ.
2. На оси OX
x A
точки А
и получают положение точки А х
. 3. Через точку А х
перпендикулярно оси OX
А х
по направлению оси OY
откладывается численное значение координаты y A
точки А
А 1
на эпюре. А х
по направлению оси OZ
откладывается численное значение координаты z A
точки А
А 2
на эпюре. 6. Через точку А 2
параллельно оси OX
проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ
даст положение точки А z
. 7. На горизонтальной линии связи от точки А z
по направлению оси OY
откладывается численное значение координаты y A
точки А
и определяется положение профильной проекции точки А 3
на эпюре. Характеристика точек
Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений. Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются: Метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности; На эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности. Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А
на рис. 1 и 2. В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х
от плоскости π 3
; координата y
от плоскости π 2
; координата z
от плоскости π 1
. Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится. Метод двух изображений
На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 3). Кроме того, на оси 0Х
назначается начало отсчета (точка 0
) и из него перпендикулярно оси 0Х
в плоскостях проекций π 1
и π 2
проводят оси 0Y
и 0Z
соответственно. В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 3 они обозначены римскими цыфрами. Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I
-ом квадранте. Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А
. Из центров проецирования S 1
и S 2
выходят проецирующие лучи l 1
и l 2
. Эти лучи проходят через точку А
и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции: - А 1
– горизонтальная проекция точки А
; - А 2
– фронтальная проекция точки А
. Чтобы получить эпюр точки А
(рис. 4), в аппарате проецирования (рис. 3) плоскость π 1
с полученной проекцией точки А 1
вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х
, до совмещения её с плоскостью π 2
. Направление поворота плоскости π 1
показана на рис. 3 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная
линия связи А 1 А 2
. На практике построение эпюра точки А
(x A , y A , z A
) осуществляется по численным значениям ее координат x A , y A
и z A
в следующей последовательности (рис. 4). 1. Вычерчивается ось OX
и назначается начало отсчета (точка 0
). 2. На оси OX
откладывается численное значение координаты x A
точки А
и получают положение точки А х
. 3. Через точку А х
перпендикулярно оси OX
проводится вертикальная линия связи. 4. На вертикальной линии связи от точки А х
по направлению оси OY
откладывается численное значение координаты y A
точки А
и определяется положение горизонтальной проекции точки А 1
OY
не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX
, а отрицательные выше. 5. На вертикальной линии связи от точки А х
по направлению оси OZ
откладывается численное значение координаты z A
точки А
и определяется положение фронтальной проекции точки А 2
на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ
не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX
, а отрицательные ниже. Конкурирующие точки
Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является тождественное совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости этих проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима. На пространственной модели проецирования (рис. 5) из двух конкурирующих точек А
и В
видима точка А
по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S 1 →А→В
точка А
ближе к наблюдателю, чем точка В
. И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π 1
(т.е. z A
> z A
). Рис. 5 Рис.6 Если видима сама точка A
, то видима и её проекция A 1
. По отношению к совпадающей с ней проекцией B 1
. Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки. Уберем на модели точки А
и В
. Останутся их совпадающие проекции на плоскости π 1
и раздельные проекции – на π 2
. Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S 1
. Тогда по цепочке изображений ⇩ → A 2
→ B 2
можно будет судить о том, что z A
> z B
и что видима и сама точка А
и её проекция А 1
. Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С
и D
по видимости относительно плоскости π 2 . Поскольку общий проецирующий луч этих точек l 2
параллелен оси 0Y
, то признак видимости конкурирующих точек С
и D
определяется неравенством y C > y D
. Следовательно, что точка D
закрыта точкой С
и соответственно проекция точки D 2
будет закрыта проекцией точки С 2
на плоскости π 2
. Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 6). Судя по совпадающим проекциям А 1
≡В 1
сами точки А
и В
находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z
. Значит сравнению подлежат координаты z A
и z B
этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z A
> z B
. Из этого следует, что видима проекция А 1
. Точки C
и D
на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 6) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y
. Поэтому из сравнения y C > y D
делаем вывод, что видима проекция С 2 . Общее правило
. Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.
Например:
Крышка рабочего стола крепится к вертикальным
стойкам. Обратите внимание на стол, за которым вы
находитесь, как и чем крепятся между собой крышка
и стойки?
Мы с вами знаем, что любая точка или отрезок на
изображении предмета являются проекцией
вершины, ребра, грани, т.е. каждый вид – это
изображение не с одной стороны (гл. вид, вид
сверху, вид слева), а всего предмета.
Для того, чтобы правильно находить проекции
отдельных точек, лежащих на гранях, нужно прежде
всего найти проекции этой грани, а затем при
помощи линий связи отыскать проекции точек.
