Wie viele vierstellige Zahlen gibt es? Wie viele vierstellige Zahlen gibt es?

Bei dieser Aufgabe müssen Sie ermitteln, wie viele vierstellige Zahlen es gibt.

Anzahl vierstelliger Zahlen

Lassen Sie uns feststellen, wie viele vierstellige Zahlen es gibt.
Eine vierstellige Zahl ist eine Zahl, die aus vier Ziffern besteht: Einer, Zehner, Hunderter und Tausender. Vereinfacht ausgedrückt ist eine vierstellige Zahl eine Zahl, die aus genau vier Ziffern besteht.
Die erste bekannte vierstellige Zahl ist 1000.
Die letzte bekannte vierstellige Zahl ist 9999.
Finden Sie die Anzahl der vierstelligen Zahlen. Es gibt zwei Möglichkeiten: Die ersten 999 natürlichen Zahlen werden von der letzten vierstelligen Zahl (9999) subtrahiert. Wir erhalten: 9999 - 999 = 9000.
Die zweite Methode: 9999 - 1000 + 1 = 9009. Wir addieren eins, da tausend auch eine vierstellige Zahl ist, und durch einfaches Subtrahieren verlieren wir sie aus der Summe.
Sie können auch die Gesamtzahl der Ziffern ermitteln.

Bestimmen Sie die Anzahl der Ziffern

Es wurde bekannt, dass eine vierstellige Zahl aus 4 Ziffern besteht, also aus 4 Ziffern. Es wurde außerdem geschätzt, dass 9.000 vierstellige Zahlen bekannt sind. Dann erhalten wir: 9000 * 4 = 36000.

Antwort: Insgesamt gibt es 9.000 vierstellige Zahlen, und wenn man sie alle hintereinander schreibt, erhält man 36.000 Ziffern.

Aufgabe 4. Wie viele zweistellige gerade Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern gibt es?

Lösung. Sei α = α1 α2 eine zweistellige gerade Zahl, bei der alle Ziffern unterschiedlich sind. Dann α2 (0,2,4,6,8) und α 1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)\(α 2 }.

Wenn α1 eine ungerade Ziffer ist, d. h. α1 (1, 3, 5, 7, 9), finden wir, dass die erste Ziffer von α1 auf 5 Arten gewählt werden kann.

Jedes Mal, wenn die erste Ziffer α1 ausgewählt wird, kann die zweite Ziffer α2 auf 5 Arten ausgewählt werden.

Mithilfe der Produktregel finden wir, dass es 5 5 = 25 zweistellige gerade Zahlen gibt, deren erste Ziffer ungerade ist.

Wenn α1 eine gerade Ziffer ist, dann gilt α1 (2, 4, 6, 8) und α 2 (0, 2, 4, 6, 8) \ (α 1), d. h. Element α2 kann auf 4 Arten ausgewählt werden.

Nach der Produktregel kann die Zahl α auf 4 4 = 16 Arten gewählt werden.

Aufgabe 5. Wie viele vierstellige Zahlen gibt es? durch 5 teilbar, deren Ziffern alle unterschiedlich sind?

Lösung. Sei A =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) eine Menge von Ziffern, α= α1 α2 α3 α4 eine vierstellige Zahl, wobei α1 A\(0) ,

α4 (0,5)\(α1),α2 A\(α1 ,α4),α3 A\(α1 ,α2 ,α4 ).

Wenn α4 = 0, dann kann α1 auf 9 Arten gewählt werden, α2 kann auf 8 Arten gewählt werden und α3 kann auf 7 Arten gewählt werden. Mithilfe der Produktregel ermitteln wir die Zahl

α kann auf 9 8 7 = 504 Arten erhalten werden. Wenn α 4 =5, dann α1 A\(0, 5 ), d.h. die Ziffer α1 kann sein

Die Ziffer α2 kann auf 8 Arten gewählt werden, die Ziffer α2 kann auch auf 8 Arten gewählt werden und α3 auf 7 Arten. Gemäß der Produktregel

Wir finden, dass die Zahl α auf 8 8 7 = 448 Arten gewählt werden kann.

Mithilfe der Summenregel finden wir also, dass es 504 + 448 = 952 durch 5 teilbare vierstellige Zahlen gibt, die alle unterschiedliche Ziffern haben.

Das gleiche Problem kann auf andere Weise gelöst werden.

Betrachten Sie eine gerade zweistellige Zahl α = α1 α2, wobei α1 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) und α 2 (0, 2, 4, 6, 8).

Bei vielen kombinatorischen Problemen erweist es sich als schwierig, direkt die Anzahl der Optionen zu finden, die uns interessieren. Wenn sich jedoch die Bedingungen des Problems ändern, können Sie eine Reihe von Optionen finden, die das Original um ein bekanntes Vielfaches übertreffen. Diese Technik heißt Mehrfachzählmethode.

1. Wie viele Anagramme hat das Wort CLASS?

Die Schwierigkeit besteht darin, dass dieses Wort zwei identische Buchstaben C enthält. Wir betrachten sie vorübergehend als unterschiedlich und bezeichnen sie mit C 1 und C 2. Dann beträgt die Anzahl der Anagramme 5! = 120. Aber die Wörter, die sich nur durch die Neuanordnung der Buchstaben C 1 und C 2 voneinander unterscheiden, sind tatsächlich das gleiche Anagramm! Daher werden 120 Anagramme in Paare identischer Anagramme unterteilt, d. h. die erforderliche Anzahl von Anagrammen beträgt 120/2 = 60.

2. Wie viele Anagramme hat das Wort CHARADA?

Wenn wir drei Buchstaben A als unterschiedliche Buchstaben A 1, A 2, A 3 zählen, erhalten wir 6! Anagramme Aber Wörter, die nur durch Neuanordnung der Buchstaben A 1, A 2, A 3 zusammengesetzt werden, sind eigentlich dasselbe Anagramm. Weil es 3 sind! Permutationen der Buchstaben A 1, A 2, A 3, ursprünglich erhalten 6! Anagramme sind in 3er-Gruppen eingeteilt! identisch, und die Anzahl der verschiedenen Anagramme beträgt 6!/3! = 120.

3. Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die mindestens eine gerade Ziffer enthalten?

Lassen Sie uns die Anzahl der „unnötigen“ vierstelligen Zahlen ermitteln, deren Aufzeichnung nur ungerade Ziffern enthält. Es gibt 5 4 = 625 solcher Zahlen. Da es aber insgesamt 9000 vierstellige Zahlen gibt, beträgt die erforderliche Anzahl „benötigter“ Zahlen 9000 – 625 = 8375.

Finden Sie die Anzahl der Anagramme für die Wörter VERESK, BALAGAN, CITYMAN.
Finden Sie die Anzahl der Anagramme für die Wörter BAOBAB, BALLAD, TURN, ANAGRAMM, MATHEMATIK, KOMBINATORIK, VERTEIDIGUNG.
Auf wie viele Arten können Sie 7 Besucher in drei Hotelzimmern unterbringen: Einzel-, Doppel- und Vierbettzimmer?
Im Kühlschrank liegen zwei Äpfel, drei Birnen und vier Orangen. Neun Tage hintereinander bekommt Petja jeden Tag ein Stück Obst. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?
Aus den sieben besten Skifahrern der Schule muss ein Dreierteam ausgewählt werden, das an Stadtwettbewerben teilnimmt. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?
Vor der Prüfung versprach der Professor, der Hälfte der Prüflinge schlechte Noten zu geben. Zur Prüfung kamen 20 Studierende. Auf wie viele Arten kann er sein Versprechen erfüllen?
Wie viele Wörter können aus fünf Buchstaben A und maximal drei Buchstaben B gebildet werden?
Zur Auswahl stehen Schokoladen-, Erdbeer- und Milcheis. Auf wie viele Arten kann man drei Eissorten kaufen?
Bei der Pizzazubereitung werden dem Käse verschiedene Komponenten zugesetzt, um ihm einen besonderen Geschmack zu verleihen. Bill verfügt über Zwiebeln, Pilze, Tomaten, Paprika und Sardellen, die seiner Meinung nach allesamt zu Käse hinzugefügt werden können. Wie viele Pizzasorten kann Bill backen?
Ein Zeuge des kriminellen Showdowns erinnerte sich, dass die Kriminellen in einem Mercedes geflohen waren, dessen Nummernschild die Buchstaben T, Z, U und die Zahlen 3 und 7 enthielt (eine Zahl ist eine Zeile, die zuerst drei Buchstaben und dann drei Zahlen enthält). . Wie viele solcher Zahlen gibt es?
Wie viele Diagonalen gibt es in einer konvexen Form? N-Quadrat?
Wie viele Dinge gibt es? N-digitale Zahlen?
Wie viele zehnstellige Zahlen gibt es, die mindestens zwei identische Ziffern haben?
Der Würfel wird dreimal geworfen. Unter allen möglichen Ergebnisfolgen gibt es solche, bei denen mindestens einmal eine Sechs gewürfelt wird. Wie viele sind es?
Wie viele fünfstellige Zahlen haben die Ziffer 1 in ihrer Notation?
Auf wie viele Arten können die weißen und schwarzen Könige auf einem Schachbrett platziert werden, ohne dass sie sich gegenseitig treffen?
Wie viele Teiler hat die Zahl 10800?

1. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen gibt es, die nur gerade Ziffern verwenden?

Lösung:

1) Die erste Ziffer kann eine beliebige gerade Ziffer außer Null sein (andernfalls ist die Zahl nicht vierstellig) – das sind 2, 4, 6 oder 8, insgesamt 4 Optionen


Optionen

2) Nehmen wir an, dass die erste Ziffer ausgewählt ist; Unabhängig davon kann der zweite Platz eine beliebige gerade Zahl sein – 0, 2, 4, 6 oder 8, insgesamt 5 Möglichkeiten:


Optionen

3) Ebenso stellen wir fest, dass die letzten beiden Ziffern auch auf jeweils 5 Arten ausgewählt werden können, unabhängig voneinander und von den anderen Ziffern (erste und zweite):


Optionen

4) Die Gesamtzahl der Kombinationen ist gleich dem Produkt

4·5·5·5 = 500

5) Die richtige Antwort lautet also 3.

2. Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, bei denen alle Ziffern unterschiedlich sind?

Lösung:

1) Die erste Ziffer kann eine beliebige Zahl außer Null sein (andernfalls ist die Zahl nicht vierstellig), insgesamt 9 Optionen


Optionen

2) Angenommen, die erste Ziffer X ausgewählt; An zweiter Stelle kann jede beliebige Zahl stehen j, außer X, insgesamt 9 Optionen (auch Null kann sein!):


Optionen

3) dritte Ziffer z es kann alles sein, außer den beiden, die bereits an den ersten beiden Stellen stehen, insgesamt gibt es 8 Optionen:


Optionen

4) Schließlich kann die vierte Ziffer eine beliebige der 7 verbleibenden sein (nicht gleich). X, j Und z)


Optionen

5) Die Gesamtzahl der Kombinationen entspricht dem Produkt

9 9 8 7 = 4536

6) Die richtige Antwort ist also 2.

3. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen gibt es, bei denen genau zwei Neunen nebeneinander stehen?

Lösung:

1) Drei Fälle sind möglich: 99··, ·99· und ··99, wobei der fette Punkt eine Zahl ungleich 9 bezeichnet

2) Für jeden dieser Fälle müssen Sie die Anzahl der Optionen zählen und diese Zahlen addieren

3) Bei der Option 99·· können die letzten beiden Ziffern alles außer neun sein (jeweils 9 Optionen):


Optionen

Insgesamt erhalten wir also 1 1 9 9 = 81 Optionen

4) In Option ·99· darf die erste Ziffer nicht Null und Neun sein (8 Optionen verbleiben) und die letzte Ziffer kann alles außer Neun sein (9 Optionen):


Optionen

Insgesamt erhalten wir also 8 1 1 9 = 72 Optionen

5) In der Option ··99 darf die erste Ziffer nicht Null und Neun sein (8 Optionen verbleiben) und die letzte Ziffer kann alles außer Neun sein (9 Optionen):


Optionen

Insgesamt erhalten wir also 8 9 1 1 = 72 Optionen

6) Die Gesamtzahl der Optionen entspricht der Summe

81 + 72 + 72 = 225

4. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen gibt es, die nicht mehr als zwei verschiedene Ziffern haben?

Lösung:

1) Bezeichnen wir die erste Ziffer mit X, es kann nicht Null sein, daher gibt es 9 mögliche Optionen


Optionen

2) Wir bezeichnen eine andere Zahl mit j, es kann auch auf 9 Arten gewählt werden (es kann Null sein, aber nicht gleich sein). X)

3) Drei Fälle müssen separat betrachtet werden: xy··, xxy· Und xxx·; Für jeden dieser Fälle müssen Sie die Anzahl der Optionen zählen und diese Zahlen addieren

4) optional xy·· die letzten beiden Ziffern können (unabhängig voneinander) gleich gewählt werden X oder j(jeweils 2 Auswahlmöglichkeiten):

			X oder j	X oder j
Optionen

Insgesamt erhalten wir also 9 9 2 2 = 324 Optionen

5) optional xxy· Die letzte Ziffer darf nur gleich sein X oder j(2 Optionen):

				X oder j
Optionen

Insgesamt erhalten wir also 9 1 9 2 = 162 Optionen

6) optional xxx· Die letzte Ziffer kann alles sein (10 Optionen):

				X oder j
Optionen

Insgesamt erhalten wir also 9 1 1 10 = 90 Optionen

7) Die Gesamtzahl der Optionen entspricht der Summe

324 + 162 + 90 = 576

8) Die richtige Antwort ist also 3.

5. Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen gibt es, bei denen alle Ziffern ungerade sind und mindestens eine davon gleich 5 ist?

Lösung (Option 1):

1) Betrachten Sie vier Optionen: 5···, ·5··, ··5· und ···5; Für jeden dieser Fälle müssen Sie die Anzahl berechnen einzigartig Optionen (außer allen gängigen!) und addieren Sie diese Zahlen

2) Im Fall von 5··· können die letzten drei Ziffern beliebig ungerade sein (jeweils 5 unabhängige Auswahlmöglichkeiten):


Optionen

Insgesamt erhalten wir also 1 5 5 5 = 125 Optionen

3) Auf den ersten Blick ist die Situation für den Fall ·5·· die gleiche, aber das ist nicht der Fall; Tatsache ist, dass einige dieser Optionen (mit 5 an erster Stelle) bereits in der ersten Gruppe 5··· enthalten sind, sodass keine Notwendigkeit besteht, sie ein zweites Mal zu berücksichtigen; Das bedeutet, dass die erste Stelle eine von vier Ziffern sein kann – 1, 3, 7 oder 9:


Optionen

insgesamt erhalten wir 4 1 5 5 = 100 Optionen

4) Betrachtet man den Fall ··5·, müssen Sie alle Optionen verwerfen, bei denen Fünfen an den ersten beiden Stellen stehen


Optionen

insgesamt erhalten wir 4 4 1 5 = 80 Optionen

5) für ··5· ergibt sich analog


Optionen

insgesamt erhalten wir 4 4 4 1 = 64 Optionen

6) Gesamtzahl der Optionen

125 + 100 + 80 + 64 = 369 Optionen

7) Die richtige Antwort lautet also 2.

Lösung (Option 2):

1) Alle Zahlen, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen, können in zwei Gruppen eingeteilt werden: diejenigen, die eine Fünf enthalten, und diejenigen, die keine Fünf enthalten

2) Wir finden die Gesamtzahl der Zahlen, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen, ähnlich wie beim ersten betrachteten Problem; Wenn wir berücksichtigen, dass es unter ihnen keine Null gibt, erhalten wir

5 5 5 5 = 625 Optionen

3) Nun finden wir auf ähnliche Weise die Zahl der Zahlen, die nur aus den Zahlen 1, 3, 7 und 9 (ohne die Fünf) besteht; Da jede der 4 Stellen eine der 4 Ziffern enthalten kann, erhalten wir

4·4·4·4 = 256 Optionen

4) Das Ergebnis, das wir brauchen, ist die Differenz

625 – 256 = 369 Optionen

5) Die richtige Antwort ist also 2.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

1) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, bei denen genau zwei Achter nicht nebeneinander liegen?

2) Wie viele vierstellige Zahlen bestehen aus verschiedenen geraden Ziffern?

3) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die mindestens eine gerade Ziffer haben?

4) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die durch 5 teilbar sind?

5) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, nicht mehr als 3000, in denen genau zwei Ziffern „3“ vorkommen?

6) 40 Athleten nahmen an der Schachmeisterschaft teil. Jeder spielte ein Spiel miteinander. Wie viele Spiele wurden insgesamt gespielt?

7) In einer Vase stehen ein Apfel, eine Birne, ein Pfirsich und eine Aprikose. Katya durfte sich zwei Früchte aussuchen. Wie viele Möglichkeiten hat Katya?

9) Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die „von links nach rechts“ und „von rechts nach links“ gleich gelesen werden?

10) Eine Kette aus drei Perlen wird nach folgender Regel gebildet: An erster Stelle in der Kette steht eine der Perlen A, B, C. An zweiter Stelle steht eine der Perlen B, C, D. An dritter Stelle steht eine der Perlen A, B, D, nicht an erster oder zweiter Stelle in der Kette. Wie viele solcher Ketten gibt es insgesamt?

Verein der 5. Klasse

Leiter Dmitry Vladimirovich Trushchin und Mikhail Vladimirovich Sheblaev
Studienjahr 2012/2013

Kombinatorik (17. November 2012)

Der Laden verkauft fünf Arten von Tassen und drei Arten von Untertassen. Auf wie viele Arten können Sie Ihre Tasse und Untertasse auswählen? Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die a) nur gerade Ziffern enthalten; b) mindestens eine gerade Ziffer? Die Fußballmannschaft besteht aus 11 Personen. Auf wie viele Arten können Sie a) Kapitän und Stellvertreter wählen; b) zwei Angreifer?

Notiz. Legen Sie zuerst ein Stück auf das Brett. Auf wie viele Arten kann dies geschehen? Zählen Sie dann für jede dieser Möglichkeiten, wie viele Unterarten Sie mit einer weiteren Figur auf das Spielfeld legen können, ohne dass diese sich gegenseitig berühren.

Anleitung 2. Betrachten Sie in Punkt b) drei verschiedene Fälle, abhängig von der Anzahl der Felder, auf denen der zweite König platziert werden kann.

Lösung.

a) Platzieren wir zuerst den schwarzen Turm. Dies kann auf 8 · 8 = 64 Arten erfolgen. Um zu verhindern, dass der weiße Turm ihn schlägt, müssen Sie ihn in eine andere Reihe stellen, das heißt, es gibt 8 - 1 = 7 freie Reihen für ihn und auch 8 - 1 = 7 Vertikale. Das heißt, Sie können Setzen Sie einen weißen Turm mit einem bereits platzierten schwarzen auf 7 · 7 = 49 Wege. Da es für jede der 64 Möglichkeiten, einen schwarzen Turm zu platzieren, 49 Möglichkeiten gibt, einen weißen Turm zu platzieren, beträgt die Gesamtzahl der Möglichkeiten, beide zu platzieren, 64 · 49 = 3136.

b) Platzieren wir zuerst den schwarzen König. Wie viele Möglichkeiten bleiben dann noch, Weiß zu setzen? Schauen wir uns verschiedene Fälle an:

Befindet sich der schwarze König in der Ecke des Spielbretts, kann der weiße König nicht auf 4 Felder platziert werden, d. h. er kann auf eines von 8 8 - 4 = 60 Feldern platziert werden. Es gibt 4 Ecken auf dem Brett, d. h. solche Fälle, in denen der schwarze König in der Ecke steht und der weiße König sie nicht trifft, 4 60 = 240.

Wenn sich der schwarze König außerdem am Rand des Spielfelds (nicht in der Ecke) befindet, kann Weiß nicht auf 6 Felder platziert werden, d. h. Sie können auf 64 - 6 = 58 Felder setzen. Auf jeder der 4 Seiten des Bretts gibt es 8 - 2 = 6 Felder, auf denen der schwarze König am Rand, aber nicht in der Ecke steht, d. h. insgesamt gibt es 4 6 58 = 1392 solcher Optionen für beide Könige platzieren.